四元数和欧拉角
2015-01-10 18:29
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四元数和欧拉角
四元数
四元数在姿态解算中用来表示旋转。四元数的乘积可表示三维空间上任意的伸缩旋转变换。Quaternions do not suffer from gimbal lock. With a three-angle(roll, pitch, yaw) system, there are always certain orientations in which there is no simple change to the three values to represent a simple local rotation. You often see this rotation having "pitched up" 90 degree when you are trying to specify a local yaw for right .
翻译:在三角度坐标系中(俯仰角,横滚角,航向角(这三个角也通常称为欧拉角)),总有一定的方向,不能通过简单的改变三个值来表示一个简单的旋转,当你想置顶一个偏航角时,你经常看到该角度上仰了90度。
a+bi称为二维复数,四元数属于四维复数:w+xi+yj+zk.
i,j,k满足如下性质
i2 = j2 = k2 = -1
i * j = k = -j * i
j * k = i = -k * j
k * i = j = -i * k
为了方便表示,q=w+xi+yj+zk 可以分为一个纯量和一个标量。表示为(S,V)。
已知一个三维空间的伸缩旋转变换的转轴方向,旋转角度和伸缩比例,可以求出相应的四元数。设转轴方向为A(Xa,Ya,Za),伸缩比例为T2那么将有如下公式。
x = s * X a
y = s * X b
z = s * X c
w = cos(θ/ 2)
s = sin(θ/ 2)
最终得到q=T(cos(θ/ 2)+sin(θ/ 2)(Xa*i+Ya*j+Za*k))
特别地,用单位化的四元数来描述旋转。当转轴方向矢量(Xa2+Ya2+Za2=1),此时的四元数是一个单位四元数。可以表示为Q=(cos(θ/ 2);sin(θ/ 2)Xa,+sin(θ/ 2)Ya,sin(θ/ 2)Za)
其中,转轴方向矢量也可以用旋转轴在x,y,z方向上的分量,cos(x),cos(y),cos(z).
四元数乘法的意义在于可以将两个旋转合并。例如:
Q=Q1*Q2 表示Q的是先做Q2的旋转,再做Q1的旋转的结果,而多个四元数的旋转也是可以合并的,当有多次旋转操作时,使用四元数可以获得更高的计算效率。
已知四元数Q=q0+q1i+q2j+q3k
可以得到旋转矩阵
怎么样由加速度计测出的加速度和陀螺仪测出的角速度得出四元数
以下代码来自IMU官方库
#define Kp 2.0f // 比例增益支配率收敛到加速度计/磁强计
#define Ki 0.005f // 积分增益支配率的陀螺仪偏见的衔接
#define halfT 0.5f // 采样周期的一半
//---------------------------------------------------------------------------------------------------
// 变量定义
float q0 = 1, q1 = 0, q2 = 0, q3 = 0; // 四元数的元素,代表估计方向
float exInt = 0, eyInt = 0, ezInt = 0; // 按比例缩小积分误差
//====================================================================================================
// Function
//====================================================================================================
void IMUupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az) {
float norm;
float vx, vy, vz;
float ex, ey, ez;
// 测量正常化
norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az);
ax = ax / norm;
ay = ay / norm;
az = az / norm;
// 估计方向的重力
vx = 2*(q1*q3 - q0*q2);
vy = 2*(q0*q1 + q2*q3);
vz = q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3;
//这是把四元数换算成姿态矩阵中的第三列的三个元素。根据余弦矩阵和欧拉角的定义,地理坐标系的重力向量,转到机体坐标系正好是这三个元素。所以这里的vx,vy, vz,就是当前的欧拉角(四元数)的机体参照坐标系上,换算出来的重力单位向量。
// 错误的领域和方向传感器测量参考方向之间的交叉乘积的总和
ex = (ay*vz - az*vy);
ey = (az*vx - ax*vz);
ez = (ax*vy - ay*vx);
// 积分误差比例积分增益
exInt = exInt + ex*Ki;
eyInt = eyInt + ey*Ki;
ezInt = ezInt + ez*Ki;
// 调整后的陀螺仪测量
gx = gx + Kp*ex + exInt;
gy = gy + Kp*ey + eyInt;
gz = gz + Kp*ez + ezInt;
// 整合四元数率和正常化
q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT;
q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT;
q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT;
q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;
// 正常化四元
norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3);
q0 = q0 / norm;
q1 = q1 / norm;
q2 = q2 / norm;
q3 = q3 / norm;
}
得出四元数后,可以通过四元数转欧拉角,得到当前的欧拉角。
姿态矩阵(旋转矩阵)
姿态矩阵是一个3x3的矩阵,姿态矩阵通常用来确定旋转体中某一点的位置。例如已知旋转体某一点相对坐标为(X0,Y0,Z0),那么以该坐标的转置去乘以旋转矩阵,便可以得到该点旋转后的坐标(X1,Y1,Z1),姿态矩阵可以通过四元数和欧拉角算出。
欧拉角
构件在三维空间中的有限运动,可以次用三个相对转角(每次的旋转轴是被转动坐标系的某一坐标轴)表示,即进动角,章动角,自旋角,也可称为俯仰角,横滚角,航向角。用欧拉角确定的姿态矩阵是三次坐标转换矩阵的乘积。
可得姿态矩阵
欧拉角转四元数
第一次绕Z轴转动 ,转动角度为,四元数表示为
第二次绕Y轴转动,转动角度为,四元数表示为
第三次绕X轴转动,转动角为,四元数表示为
三次转动的合成是这三个四元数的乘积,得到该旋转的四元数为:
在姿态解算时需要最先初始化欧拉角,只通过加速度计便可得到欧拉角,初始化欧拉角是为了得到初始化的四元数。
四元数转欧拉角
Pitch = asin(-2 * q1 * q3 + 2 * q0* q2)* 57.3; // pitch
Rool = atan2(2 * q2 * q3 + 2 * q0 * q1, -2 * q1 * q1 - 2 * q2* q2 + 1)* 57.3; // roll
Yaw = -atan2(2 * q1 * q2 + 2 * q0 * q3, -2 * q2*q2 - 2 * q3 * q3 + 1)* 57.3; // yaw
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