检查链表是否有环，带数学推导

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推导

给定下列列表（4指回2），若有快慢两个指针，慢指针每次前进一步，快指针每次前进两步，求两指针何处相遇？

1-2-3-4
  |___|

解：

设两指针前进n次。n必定大于等于1。

In[1]:=Reduce[Mod[n
– 1, 3] == Mod[2n – 1, 3], n, Integers]Out[1]:=c1∈Z∧n=3c1

然后寻找满足上述条件（Out[1]）的最小的n。

In[2]:=FindMinimum[{3c,
3c > 1, Element[c, Integers]}, c]Out[2]:={3.,
{c -> 1}}

所以n=3，即slow、fast两指针在4处相遇。

一般化：给定一个单链表，前面非循环部分有a个节点（长度为a），后面循环部分有l个节点（长度为l）。求快慢两指针走多少次后相遇？

同理，设前进n次后相遇。（n>a）

快指针的位置=慢指针的位置
??∴(2n?a)%l=(n?a)%l2n?a≡n?a(modl)n≡0(modl)n=kl(k?0)公式1公式2

公式1是同余表达式，读作2n-a和n-a在模l下同余，≡不是全等的意思，mod不是5
mod 3=2的意思。公式2应用同余的性质，等号右边移到左边抵消掉。（注意到(modl)前的空格没有？mod
l表示对前面等号的左边和右边同时取余数）

所以n是l的倍数。n不一定等于l，因为n必须大于a，而a与l的关系未知。

因为n≠l，所以2n?n=kl≠l。这里就证明了Bluefeather说的“fastVal
– slowVal equals the size of the loop”[1]是错误的。

能否求出l的具体值呢？答案是可以的。根据GoCalf[2]，两指针相遇后，快指针暂停慢指针继续走，两指针第二次相遇时，慢指针走的次数就是环长。

求环长

给定任意带环链表，快慢指针相遇时走的次数为该带环链表的环长。

求非循环长度

已知环长后，可以求非循环部分的长度a。

获取甲乙两个慢指针，甲先走l次，然后甲乙一起走。因为甲乙步长相同，他们之间始终保持l的差距。当乙第一次进入循环节时，由于甲乙差距为l，l为循环节长度，所以甲跟乙相遇。这时乙所走的步数就是a。

1.	↑	Bluefeather. Share my O(n) complexity and constant space code. Keep the original list. Any comments. . 2014-12-12 [2015-01-08].
2.	↑	GoCalf. 检测单向链表是否存在环. . 2011-10-14 [2015-01-08].