为什么数学概念中,将凸起的函数称为凹函数?
2015-01-08 19:54
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中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和另一些机构不同。
那么我们来讲凸函数(convex function)为什么叫做是凸(convex)的:这是因为凸函数与凸集(convex set)有联系,而凸集的定义没有争议。
1. 凸函数与凸集通过 sublevel sets 这个概念联系起来。
首先来看一个函数的 sublevel sets。对于函数
来说,它的
-sublevel set
是这样定义的:
也就是在函数定义域内,对应函数值小于
的自变量的取值构成的集合。
联系1:对于任意
来说,一个凸函数的
-sublevel set 是一个凸集。
注意该命题的逆命题不成立。为了更好的理解这个概念,以及逆命题为什么不成立,我们来看一个例子(图来自参考资料):
这是一个定义域和值域都在
里面的函数,它是非凸的。它的
-sublevel set 就是
,显然是一个凸集。我们甚至可以看到对于这个函数,给定任意
它的
-sublevel set 都是凸集,但这个函数不是凸函数。这样的函数有一个名字叫做 quasiconvex.
2. 凸函数与凸集通过 epigraph 这个概念联系起来。
接着看一个函数的 epigraph。它是这样定义的:
这个前缀 epi 好像是 above 的意思,那么epigraph的意思大概是「上方的图」。对于
的函数,它的 epigraph 就应该是
的子集。
接着看刚才的栗子,这个函数的epigraph就是函数上方的灰色部分(原谅我):
看到了吗,这不是一个凸集。
联系2:凸函数的 epigraph 是一个凸集,反之也成立。也就是说,一个函数是凸函数,当且仅当它的 epigraph 是凸集。
参考资料:
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
-----------
突
然发现 sublevel sets 和 epigraph 这两个概念也是相对的,把 sublevel sets
定义的小于等于号换成大于等于号说不定就有了 "superlevel sets", 同样的还可以定义 "hypograph",
所以可能凹凸的分别还是 by convention吧?
from:http://www.zhihu.com/question/20014186
那么我们来讲凸函数(convex function)为什么叫做是凸(convex)的:这是因为凸函数与凸集(convex set)有联系,而凸集的定义没有争议。
1. 凸函数与凸集通过 sublevel sets 这个概念联系起来。
首先来看一个函数的 sublevel sets。对于函数
来说,它的
-sublevel set
是这样定义的:
也就是在函数定义域内,对应函数值小于
的自变量的取值构成的集合。
联系1:对于任意
来说,一个凸函数的
-sublevel set 是一个凸集。
注意该命题的逆命题不成立。为了更好的理解这个概念,以及逆命题为什么不成立,我们来看一个例子(图来自参考资料):
这是一个定义域和值域都在
里面的函数,它是非凸的。它的
-sublevel set 就是
,显然是一个凸集。我们甚至可以看到对于这个函数,给定任意
它的
-sublevel set 都是凸集,但这个函数不是凸函数。这样的函数有一个名字叫做 quasiconvex.
2. 凸函数与凸集通过 epigraph 这个概念联系起来。
接着看一个函数的 epigraph。它是这样定义的:
这个前缀 epi 好像是 above 的意思,那么epigraph的意思大概是「上方的图」。对于
的函数,它的 epigraph 就应该是
的子集。
接着看刚才的栗子,这个函数的epigraph就是函数上方的灰色部分(原谅我):
看到了吗,这不是一个凸集。
联系2:凸函数的 epigraph 是一个凸集,反之也成立。也就是说,一个函数是凸函数,当且仅当它的 epigraph 是凸集。
参考资料:
Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.
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突
然发现 sublevel sets 和 epigraph 这两个概念也是相对的,把 sublevel sets
定义的小于等于号换成大于等于号说不定就有了 "superlevel sets", 同样的还可以定义 "hypograph",
所以可能凹凸的分别还是 by convention吧?
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