求解SDP问题—使用SeDuMi和YALMIP
2015-01-08 18:18
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http://pinkyjie.com/2010/09/11/solve-sdp-using-sedumi-yalmip/
求解SDP问题—使用SeDuMi和YALMIP
9月 11日 2010SDP(SemiDefinite Programing,半定规划)是凸优化(Convex Optimization)的一种,貌似近些年来比较热,反正这个东西常常出现在我看的论文中。论文里一般是把一个问题转化为SDP,然后极不负责任的扔了一句可以使用SeDuMi等工具箱解决就完事了,搞的本人非常迷茫,于是决定一探究竟,谁知还搞了个意外收获,那就是YALMIP工具箱。SeDuMi和YALMIP都是Matlab的工具箱,下载和安装请参见它们的主页。下面我就分别谈谈怎么样将两个工具箱应用于SDP求解吧。
SDP问题的对偶原型及求解步骤
下面就是一个典型的SDP问题:mincTys.t.A1y=b1A2y≥b2F0+y1F1+…+ypFp≥0
目标函数是线性的,有一个等式约束,有一个不等式约束,最后一个是LMI(Linear Matrix Inequality,线性矩阵不等式)约束。使用SeDuMi来解决此类问题,我们就要自行构造调用SeDuMi的核心函数
sedumi(Att,bt,ct,K)的四个参数。
At(:,i)=−vec(Fi)fori=1,…,p
Att=[A1;−A2;At]
bt=−c
ct=[b1;−b2;vec(F0)]
等式约束的个数: K.f=size(A1,1)
不等式约束的个数: K.l=size(A2,1)
LMI中矩阵的阶数: K.s=size(F0,1)
这样,我们就可以调用[x,y,info]=sedumi(Att,bt,ct,K)来求解了,其中的y即为优化后得到的最优解。
一个典型的例子
这里举一个简单的例子,并给出Matlab的实际代码,以便能更好地理解运用上节的知识。SDP的一个最简单的应用就是最大化矩阵的特征值问题。如我们要找y1,y2,y3使矩阵F=F0+y1F1+y2F2+y3F3的特征值最大化,其中F0,F1,F2,F3分别为:F0=⎡⎣⎢2−0.5−0.6−0.520.4−0.60.43⎤⎦⎥,F1=⎡⎣⎢010100000⎤⎦⎥,F2=⎡⎣⎢001000100⎤⎦⎥,F3=⎡⎣⎢000001010⎤⎦⎥
同时,我们对y1,y2,y3也给出一个不等式限制和一个等式限制:
0.7≤y1≤1,0≤y2≤0.3,y3≥0
y1+y2+y3=1
那么这个问题可以描述成以下形式:
mints.t.A1y=b1A2y≥b2tI−(F0+y1F1+y2F2+y3F3)≥0
其中y,A1,A2,b1,b2的取值分别为:
y=[y1,y2,y3,t]T,A1=[1,1,1,0]b1=1,b2=[0.7,−1,0,−0.3,0]TA2=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1−1000001−100000100000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
下面我们就可以使用sedumi函数进行优化求解了,给出Matlab代码:
123456789101112131415161718 | A1 = [1 1 1 0];A2 = [1 0 0 0; -1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 -1 0 0; 0 0 1 0];b1 = 1;b2 = [0.7 -1 0 -0.3 0]';F0 = [2 -0.5 -0.6; -0.5 2 0.4; -0.6 0.4 3];F1 = [0 1 0; 1 0 0; 0 0 0];F2 = [0 0 1; 0 0 0; 1 0 0];F3 = [0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];F4 = eye(3);At = -[vec(F1) vec(F2) vec(F3) vec(F4)];Att = [A1; -A2; At];bt = -[0 0 0 1]';ct = [b1; -b2; vec(F0)];K.f = size(A1,1);K.l = size(A2,1);K.s = size(F0,1);[x,y,info] = sedumi(Att,bt,ct,K);y |
![](http://pinkyjie-blog.qiniudn.com/images/solve-sdp-using-sedumi-yalmip-1.png)
YALMIP一出,谁与争锋
我们从上面也可以看到,SeDuMi的求解过程还是比较复杂的,不仅需要将优化问题先化成SDP的标准形式,而且参数的配置也相当费功夫,很不直观!在搜索SeDuMi的过程中,我又发现了一个叫YALMIP的工具箱,它的命名挺有意思,Yet Another LMI Package,又一个LMI包,呵呵,不过它可不是徒有虚名啊!简单的说,它可以非常直观的将目标函数和约束条件赋给它的核心函数solvesdp(Constraint,Objective),下面我们就看看解决同样的问题YALMIP是怎么操作的,废话不说了,直接上Matlab代码:12345678910111213 | t = sdpvar(1); % sdpvar声明变量y = sdpvar(3,1,'full');F0 = [2 -0.5 -0.6; -0.5 2 0.4; -0.6 0.4 3];F1 = [0 1 0; 1 0 0; 0 0 0];F2 = [0 0 1; 0 0 0; 1 0 0];F3 = [0 0 0; 0 0 1; 0 1 0];a = [sum(y)==1]; % 等式约束b = [0.7<=y(1)<=1, 0<=y(2)<=0.3, y(3)>=0]; %不等式约束c = [t*eye(3)-(F0 + y(1)*F1 + y(2)*F2 + y(3)*F3)>=0]; % LMI约束obj = t;constraint = [a,b,c];solvesdp(constraint,obj);double(y) |
![](http://pinkyjie-blog.qiniudn.com/images/solve-sdp-using-sedumi-yalmip-2.png)
可以看到两者的结果基本是一致的,当然,我怀疑YALMIP在操作的过程中有调用SeDuMi的可能性,但是不管怎么说,YALMIP的代码则更直观,更容易理解,甚至连双向不等式都可以直接书写,这都是明显的,可见它的牛逼,所以必然果断抛弃其他一切优化工具箱,你的意见呢?嘿嘿~
P.S. 最近总是学术文章,我也有点受不鸟了~写这玩意累啊,歇着去了。。。
Posted by 马斯特 -
9月 11日 2010
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SDP, SeDuMi, YALMIP, 凸优化, 半定规划
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