数值分析中插值方法-Lagrange插值

关于数值分析中的Lagrange插值的详细介绍

一首先介绍一下插值的概念：

事实上插值指的是一种函数逼近的方法，简单的说即为存在函数

,其中

，当只是给定一系列的数值节点时，即

，而要求

在某一个节点

的函数值

时很难求解，此时可以采用某一种数值方法来求解此近似值。即采用函数

来近似代替

，使得

经过这一系列的插值节点

，则此时

即为

。

在上述这一过程，即称为插值，而给定的

为插值节点，待求的

为插值点。

二线性插值的由来：

实际上我们的线性插值，包括我们接下来讲解的Lagrange插值，是来自我们的直线方程中的两点式表达式及其

推广，而直线的两点式的由来得从直线的点斜式说起

1 从直线的点斜式说起到直线的两点式

已知直线经过两点

，假设直线斜率

存在，即

，则此时直线斜率的大小为：

，相应的直线方程为：

，即

此即为直线的点斜式方程。

下面我将通过点斜式，推导出直线的两点式，进而推导出Lagrange插值公式，由

可以进行化简



，而此式子

即为直线的两点式

2由两点式到Lagrange插值

直线的两点式

不妨写为

，其中

，此即

为两点一次的线性插值。

3进入Lagrange插值

由

，其中

， 两点一次的线性插值，当插值节点推广至n个插值节点的(n-1)次插值时，即会有我们所说的Lagrange插值

Lagrange插值，要求需要知晓n个插值节点

（i=0,1,2...n），而构造出来的

为一代数多项式，即

，在推导出此公式的过程中，是通过线性方程组的求解得到的，加上推导过程

（即插值基函数）具有这样的性质:

，则推导出来的Lagrange插值公式为:

，而

表示累乘的概念，即从下标j为0到n，且过程中下标不取k的累乘。

三 拉格朗日插值后续

1, Lagrange插值唯一的不足在于每一次增加一个新的节点时，需要重新计算所有插值基函数，而这无疑增加了计算量

2,Lagrange的插值余项R(x)在满足给定的精度时，则此插值方法是有效的，插值余项（或者称为“截断误差:由于截断而产生的误差”）：

，其中：

。

3,关于Lagrange插值的实现，已经采用C++语言实现该算法，具体可参考我的另一篇博客点击打开链接