数学修炼笔记——组合&数论&博弈
2015-01-06 19:43
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一
在无限大的平面上有3匹马,求证不可能每两对马都可以通过奇数步走到对方
反证+奇偶显然
二
在8*8的棋盘上A和B交替放黑马白马,每次放下不能使对方攻击到自己,判断谁胜谁负?
由对称性知后手必胜
三
有一个n*n棋盘上(n>100),n-1个格子填1,其余填0,每次选择一个格子,将其减1,且同行同列其他数加1,是否能全部相等?
考虑C=aij-akj+akm-aim,每次操作模3不变
取i,j为空行空列,考察akm=1,此时C=1(mod 3),所以不可能
四
n*n的棋盘上每个方格都被染成m种颜色的一种,且不存在两行一样。证明一定可以对某列染成白色后任意两行不会一样
反证,假设把任何一列染成白色后,都会有两行相同。
用v1…vn表示1-n行。如果把第i列染成白色且两行相同就连一条边,若有多个随便连一条。
那么可以得到n个点n条边的图。
由图论知识可知,必然存在一个环,记作vi1,vi2...vik
设vi1与vi2第j列颜色不同
由于对每列染成白色后,只连了一条边
故vi2,vi3...vik,vi1行在第j列上的小方格颜色相同。矛盾
五
有个人上楼梯,一次可以上a层或下b层
假设楼梯最高n层,若他可以从0层上到n层,并且返回到0层而不出边界
求n的最小值
若a,b不互质,那么一阶楼梯相当于(a,b)阶,转化为互质
下证(a,b)=1时,答案为a+b-1
不妨设a>b>0
1)一方面,n=a+b-1时一定可以走到
考虑他在第i阶楼梯时
1.i+a>a+b-1 =>i>b-1,那么他一定可以下楼梯,在模b的同余类中不变
2.i-b<0 =>i<b=n-a+1,那么他一定可以上楼梯,在模b的同余类中相当于走了a%b层
所以他是可以始终不停上升的,根据裴蜀定理,他一定可以走到n,返回同理
2)另一方面,n<a+b-1一定不能走到(下面是书上证的,我太弱没想出来)
如果他可以从0走到n再从n走到0,那么他一定会经过a,2a,...,ba所代表b的同余类各一次((a,b)=1)
考虑他返回的时候,当它走到b-1代表的模b的同余类时,设他的位置为 lb-1
此时,他不能上升(a+lb-1>=a+b-1>n)
以他会永远被禁锢在这个剩余类中,永远不可能回到0
Q.E.D.
因此最终的答案为a+b-(a,b)
六
整数1,2……,n的排列满足:每个数或者大于它前面所有树,或者小于前面所有数的方案数为an。求通项公式。
n=1时a1=1.n=2时a2=2
对于n>2考虑第n个数插入1...n-1的排列中得an=1+a1+...+a[n-1],错位相减得an=2^(n-1)
七
6个红球,3个蓝球,3个黄球,同色不相邻,求方案数
若蓝球与黄球均不相邻,则红球与非红球交替放,2*C(6,3)*C(3,3)=40种
若蓝球与黄球有一个相邻,可以合并为一个“花球”,2!*(5!/(2!*2!*1!))=60种
所以答案为100种
八
AHOI2003特等奖学金
显然的差分约束题,但是最长长度应该如何计算呢?打表找规律?
其实个问题可以转化为问题五,慢慢想吧~~~
在无限大的平面上有3匹马,求证不可能每两对马都可以通过奇数步走到对方
反证+奇偶显然
二
在8*8的棋盘上A和B交替放黑马白马,每次放下不能使对方攻击到自己,判断谁胜谁负?
由对称性知后手必胜
三
有一个n*n棋盘上(n>100),n-1个格子填1,其余填0,每次选择一个格子,将其减1,且同行同列其他数加1,是否能全部相等?
考虑C=aij-akj+akm-aim,每次操作模3不变
取i,j为空行空列,考察akm=1,此时C=1(mod 3),所以不可能
四
n*n的棋盘上每个方格都被染成m种颜色的一种,且不存在两行一样。证明一定可以对某列染成白色后任意两行不会一样
反证,假设把任何一列染成白色后,都会有两行相同。
用v1…vn表示1-n行。如果把第i列染成白色且两行相同就连一条边,若有多个随便连一条。
那么可以得到n个点n条边的图。
由图论知识可知,必然存在一个环,记作vi1,vi2...vik
设vi1与vi2第j列颜色不同
由于对每列染成白色后,只连了一条边
故vi2,vi3...vik,vi1行在第j列上的小方格颜色相同。矛盾
五
有个人上楼梯,一次可以上a层或下b层
假设楼梯最高n层,若他可以从0层上到n层,并且返回到0层而不出边界
求n的最小值
若a,b不互质,那么一阶楼梯相当于(a,b)阶,转化为互质
下证(a,b)=1时,答案为a+b-1
不妨设a>b>0
1)一方面,n=a+b-1时一定可以走到
考虑他在第i阶楼梯时
1.i+a>a+b-1 =>i>b-1,那么他一定可以下楼梯,在模b的同余类中不变
2.i-b<0 =>i<b=n-a+1,那么他一定可以上楼梯,在模b的同余类中相当于走了a%b层
所以他是可以始终不停上升的,根据裴蜀定理,他一定可以走到n,返回同理
2)另一方面,n<a+b-1一定不能走到(下面是书上证的,我太弱没想出来)
如果他可以从0走到n再从n走到0,那么他一定会经过a,2a,...,ba所代表b的同余类各一次((a,b)=1)
考虑他返回的时候,当它走到b-1代表的模b的同余类时,设他的位置为 lb-1
此时,他不能上升(a+lb-1>=a+b-1>n)
以他会永远被禁锢在这个剩余类中,永远不可能回到0
Q.E.D.
因此最终的答案为a+b-(a,b)
六
整数1,2……,n的排列满足:每个数或者大于它前面所有树,或者小于前面所有数的方案数为an。求通项公式。
n=1时a1=1.n=2时a2=2
对于n>2考虑第n个数插入1...n-1的排列中得an=1+a1+...+a[n-1],错位相减得an=2^(n-1)
七
6个红球,3个蓝球,3个黄球,同色不相邻,求方案数
若蓝球与黄球均不相邻,则红球与非红球交替放,2*C(6,3)*C(3,3)=40种
若蓝球与黄球有一个相邻,可以合并为一个“花球”,2!*(5!/(2!*2!*1!))=60种
所以答案为100种
八
AHOI2003特等奖学金
显然的差分约束题,但是最长长度应该如何计算呢?打表找规律?
其实个问题可以转化为问题五,慢慢想吧~~~
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