二分查找的思考

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二分查找

二分查找的代码是这样

int binarySearch(int* A, int n, int target){
int l = 0;
int r = n-1;
while(l<=r){
int mid = (l+r)>>1;
if(A[mid]==target) return mid;

if(A[mid]<target) l=mid+1;
else r=mid-1;
}
return -1;
}

循环不变式：

如果key存在于原始数组[0,n-1]，那么它一定在[left,right]中。

初始化：

第一轮循环开始之前，处理的数组就是原始数组，这时显然成立。

保持：

每次循环开始前，key存在于待处理数组array[left, ..., right]中。

对于array[mid]<key，array[left, ..., mid]均小于key，key只可能存在于array[mid+1, ..., right]中；

对于array[mid]>key，array[mid, ..., right]均大于key，key只可能存在于array[left, ..., mid-1]中；

对于array[mid]==key，查找到了key对应的下标，直接返回。

在前两种情况中，数组长度每次至少减少1（实际减少的长度分别是mid-left+1和right-mid+1），直到由1（left==right）变为0（left>right），不会发生死循环。

终止：

结束时，left>right，待处理数组为空，表示key不存在于所有步骤的待处理数组，再结合每一步排除的部分数组中也不可能有key，因此key不存在于原数组。

二分查找左边界和右边界

其实就是leetcode的 Search for a range

我是这么写的

class Solution {
public:
vector<int> searchRange(int A[], int n, int target) {
//不如叫：二分查找左右断点
vector<int> range = {-1,-1};
int l=0;
int r=n-1;
int mid;
while(l<=r){
mid=(l+r)/2;
if(target<=A[mid]) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(A[l]==target) range[0] = l;

l=0;
r=n-1;
while(l<=r){
mid=(l+r)/2;
if(target<A[mid]) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(A[r]==target) range[1] = r;
return range;
}
};

问题是，为什么这样查找左边界的时候，跳出循环时， l就是要找的第一个元素的下标？

循环不变量：

如果 存在， [l,r+1]包含

最后退出循环的时候是不是有 l=r+1， 会不会是 l=r+2 ?