最小公倍数和最大公约数

原理：欧几里得算法（gcd（a，b）=gcd（b，r），gcd表示求约数）

描述：两个数a，b的约数与b，r的约数相等。（其中r=a mod b，mod为取余）

证明：

设a=k*b+r，d为a，b的公约数。（其中r=a mod b，mod为取余）

则：r=a-k*b；

显然，d也为r的约数。

即证得：gcd（a，b）=gcd（b，r）。

a，b与b，r有共同约数，自然有共同的最大公约数。

两个数的最小公倍数为两数之积与两数最大公约数的商。（最小公倍数可表示为：K=A*B/gcd（A，B））

证明：

设A=a*x，B=b*x，其中X=gcd（A，B）,那么a与b互质（如果a，b存在约数，那么X非最大公约数）。

则最小公倍数k=a*b*x；（K/A=b， K/B=a， 由已知a， b互质，则k最小。若a，b存在约数c，则k/c也是A,B的倍数）

显然k=A*B/x；

即证得：最小公倍数可表示为：k=A*B/gcd（A，B）

根据这一原理可用C语言求最小公倍数和最大公约数。

1.函数嵌套调用：

代码：

#include <stdio.h>

int divisor(int a,int b)    //自定义函数求a，b的最大公约数
{
int temp,r;
if(a<b)
temp=a,a=b,b=temp;  //a为a，b两者之间的较大者
while(b!=0)
{
r=a%b;
a=b;
b=r;
}
return a;
}

int multiple(int a,int b)   //自定义函数求a，b的最小公倍数
{
int temp;
temp=divisor(a,b);
return (a*b/temp);
}
int main()
{
int a,b,max,min;        //max为最大公约数，min为最小公倍数
scanf("%d %d",&a,&b);
max=divisor(a,b);
min=multiple(a,b);
printf("%d %d\n",max,min);
return 0;
}

2.函数递归调用

代码：

#include <stdio.h>

int gcd(int a,int b)    //自定义函数求a，b的最大公约数
{
if(a%b==0)
return b;
else return gcd(b,a%b);
}

int multiple(int a,int b)   //自定义函数求a，b的最小公倍数
{
int temp;
temp=gcd(a,b);
return (a*b/temp);
}
int main()
{
int a,b,max,min,temp;        //max为最大公约数，min为最小公倍数
scanf("%d %d",&a,&b);
if(a<b)
temp=a,a=b,b=temp;  //a为a，b两者之间的较大者
max=gcd(a,b);
min=multiple(a,b);
printf("%d %d\n",max,min);
return 0;
}