bzoj1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏 组合游戏

首先是最简单的Nim游戏：有N堆石子，每次从一堆中取出不为空的石子，不能取者为负。判断先手是否必胜。有一个小小的结论：后手必胜当且仅当所有石子的异或和为0。

再麻烦一点。规定每次取的石子个数，比如每次只能取1,3,4。我们先考虑只有一堆石子。

（以下摘自那个博客）

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g（x）即sg[x]

sg[0]=0，f[]={1,3,4},

x=1时，可以取走1-f{1}个石子，剩余{0}个，mex{sg[0]}={0}，故sg[1]=1;

x=2时，可以取走2-f{1}个石子，剩余{1}个，mex{sg[1]}={1}，故sg[2]=0；

x=3时，可以取走3-f{1,3}个石子，剩余{2,0}个，mex{sg[2],sg[0]}={0,0}，故sg[3]=1;

x=4时，可以取走4-f{1,3,4}个石子，剩余{3,1,0}个，mex{sg[3],sg[1],sg[0]}={1,1,0},故sg[4]=2;

x=5时，可以取走5-f{1,3,4}个石子，剩余{4,2,1}个，mex{sg[4],sg[2],sg[1]}={2,0,1},故sg[5]=3；

以此类推.....

   x         0  1  2  3  4  5  6  7  8....

sg[x]        0  1  0  1  2  3  2  0  1....

在这里，那个异或和的结论还是正确的。如果sg
=0，那么就存在后手必胜的策略。

但是如果有多堆石子，应该怎么办？直接把所有的SG全部异或起来，也是判断是否是0。

知道了这些结论，那道题也就成了傻题。前面是裸的SG，后面再枚举一下即可。

关于 (sg[a[i]-b[j]]^(ans^sg[a[i]]))==0 假如除第i堆没取的值如果xor sg[a[i]-b[j]] ==0的话 就说明这对于对方是必败条件，也就是我方的必胜条件。

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,m,ans,sg[1100],a[100],b[100];
bool mark[100];
int getint()
{
int res;char c;
while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');
res=c-'0';
while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
res=res*10+c-'0';
return res;
}
void init()
{
for(int i=1;i<=1000;i++)
{
memset(mark,0,sizeof(mark));
for(int j=1;j<=m;j++)
if(i-b[j]>=0)
mark[sg[i-b[j]]]=1;
for(int j=0;j<=100;j++)
if(!mark[j])
{sg[i]=j;break;}
}
}
int main()
{
n=getint();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint();
m=getint();
for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=getint();
init();
for(int i=1;i<=n;i++) ans^=sg[a[i]];

if(!ans) printf("NO\n");

else  printf("YES\n");

for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if( (sg[a[i]-b[j]]^(ans^sg[a[i]]))==0 )
{
printf("%d %d\n",i,b[j]);
return 0;
}
}
}
return 0;
}