笔记——关于欧拉角与四元数

在描述三维旋转时，我们通常采用的是旋转矩阵、欧拉角以及四元数的方式，这里我们来讨论欧拉角和四元数的问题。

首先，我们有这样一个设定：变换物体和变换坐标系在某种意义上是等价的，一般我们通过变换坐标系来处理较简单些。这里有三个坐标系需要考虑：世界坐标系、物体坐标系以及惯性坐标系。从物体坐标系转换到惯性坐标系只需要旋转，从惯性坐标系到世界坐标系只需要平移。比如欧拉角就反映的是物体坐标系和惯性坐标系的关系，当旋转的顺序为heading-pitch-bank(roll-pitch-yaw)时，是指从惯性参考系到物体参考系，如果从物体参考系到惯性参考系，旋转的顺序是相反的。

关于世界坐标系、物体坐标系以及惯性坐标系的理解请看下图：



参考自<<3D数学基础：图形与游戏开发>>

欧拉角：绕坐标系的三个轴旋转，采用角度的方式来描述。这里的坐标系可以是刚体(物体)坐标系或者实验室(惯性)坐标系，在理解时可借助手机、为其设定三个轴等方式来辅助理解；使用欧拉角需注意：①夹角的顺序及参考轴②是刚体坐标系还是实验室坐标系③左手坐标系还是右手坐标系④任意轴都能够做旋转轴，只不过我们一般使用笛卡尔轴。

四元数：绕一个轴旋转，采用轴-角度的方式来描述（想象成伞的旋转）。单位四元数只表示旋转，而其他非单位四元数还表示了伸缩等信息。

比较欧拉角和四元数我们可以看出一个旋转序列等价于单个旋转。

关于欧拉角的例子：



不同的应用场合的名称：



参考自：http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/euler/

旋转矩阵、欧拉角以及四元数的比较：



参考自：/article/2304340.html

关于欧拉角的理解（极力推荐）：http://v.youku.com/v_show/id_XNzkyOTIyMTI=.html