UVA11324 The Largest Clique

有向图中寻找一个点最多的子图，使得任意两点均可达（至少存在一条路径由一点通向另一点）

关键词：建立scc缩点图、有向图任意两点可达的最大子图、dag图最长路径

做法：1.缩点，建立scc图 2.scc图是dag图，dag图任意两点均可达的子图中一定存在经过子图中所有点的路径。证明如下：

命题：n点DAG图中任意两点可达，则存在一条路径经过所有的点

引理：DAG图性质：至少存在一个入度为0的点，一个出度为0的点

证明：首先，n=2,3时，实验可知存在一条路径经过所有的点。假设n<k(k>=4)时，结论成立。n=k时，由引理，设入、出度为0的点分别为s和t。删去s、t及其相关的边，剩余k-2个点，仍为DAG图，且满足两两可达，由假设，存在一条路径经过这k-2个点，且存在s'和t'点，入、出度分别为0。现将s和t加入该图，则一定有s->s',t'->t的两边，从而组成了通过k点的路径。n=k时命题成立。因此，对于n>=2命题都成立。

3.于是求最大子图转化为求最长路径问题。dag图求最长路径，使用动态规划即可。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<stack>
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 1100
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;

int t,n,m;
vector<int> g[maxn],sccg[maxn];
int pre[maxn],sccno[maxn],dfs_clock,scc_cnt,lowin[maxn],sccnum[maxn];
stack<int> S;
int dp[maxn],ans;

void dfs(int u){
pre[u]=lowin[u]=++dfs_clock;
S.push(u);
for(int i=0;i<g[u].size();i++){
int v=g[u][i];
if(!pre[v]){
dfs(v);
lowin[u]=min(lowin[u],lowin[v]);
}
else if(!sccno[v]) lowin[u]=min(lowin[u],pre[v]);
}
if(lowin[u]==pre[u]){
scc_cnt++;
for(;;){
int x=S.top();S.pop();
sccno[x]=scc_cnt;
sccnum[scc_cnt]++;
if(x==u) break;
}
}
}

void find_scc(){
mem(pre,0),mem(sccno,0),mem(sccnum,0),dfs_clock=scc_cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(!pre[i]) dfs(i);
}

void build_scc(){
for(int i=1;i<=scc_cnt;i++) sccg[i].clear();
for(int u=1;u<=n;u++){
for(int i=0;i<g[u].size();i++){
int v=g[u][i];
if(sccno[u]!=sccno[v]) sccg[sccno[u]].push_back(sccno[v]);
}
}
}

int DP(int u){
if(dp[u]) return dp[u];
int tmp=0;
for(int i=0;i<sccg[u].size();i++){//用错图形！！！
int v=sccg[u][i];
tmp=max(tmp,DP(v));
}
return dp[u]=tmp+sccnum[u];
}

void longest_scc(){
mem(dp,0),ans=0;
for(int i=1;i<=scc_cnt;i++) ans=max(ans,DP(i));
//for(int i=1;i<=scc_cnt;i++) { printf("%d %da\n",sccnum[i],dp[i]); }
}

int main(){
//freopen("a.txt","r",stdin);
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) g[i].clear();
for(int i=1;i<=m;i++){
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
g[a].push_back(b);
}
find_scc();
build_scc();
longest_scc();
printf("%d\n",ans);
}
}