算法与数据结构面试题(22)-求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字

题目

n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字
（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，
从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

参考文章

http://blog.csdn.net/lzj509649444/article/details/7056742

个人理解

第一种思路

1.m=8删除过程

2.m=4的删除过程

分析

经过K次删除，我们要找的数在index=5处，但是经过K+1次删除后我们要找的数变成了index=18了。这index的变化和m以及目前剩余的数n有什么关系？

删除第m个数字，有3种情况：

求删除的数索引值

1.m>n，遍历超过一圈，这个时候删除的元素为第m%n个

2.m<n，遍历不超过一圈，这个时候删除的元素为第m个

3.m=n,删除的元素为第0个。

综上所述删除的数的索引可以用m%n来表示。

求第f(n)次和f(n-1)次的关系

第K次删除，设要找的数索引值为i。为f(n)

第K+1次删除，要找的数索引值为j。为f(n-1)

也要分2种情况：

1.删除的数索引值大于i。即m%n>i

j = n-m%n+i
18 = 21-8%21+5

2.删除的数索引值小于i。即m%n<i

j = i-m%n
1=5-4%21

因为i肯定是小于n的。所以i = i%n

总结

但是上面的公式含有两种情况，我们现在已知的条件是F(0)的位置，而无法得到F(n)的值，所以上面的公式推导失败。

第二种思路

因为我们要求的最后一个数的数值，那么我们求剩下的数在原始集合中的索引值index，就可以通过index-1得到该数。

所以公式要倒过来，变成了当F(0) = 0。求F(n)的问题，因此我们要将上面的图从后往前看，如何根据后一张图的位置推导出前一张图的位置。

假如m=8

进行K次删除以后:

此时n=20,剩下的数在当前位置的索引值为18，

那么在K-1次删除后：

n=21，剩下的数在什么位置。上图中很明显可以知道数在5的位置。能否找到一个递推公式呢？具体推理过程。上面的参考文章有推理过程，我们要做的是验证是否正确。



如果f(20,8)为18，m=8,n=21,那么

f(21,8) = (18+8)%21 = 5。

如果f(20,4) = 1,m=4,n=21,那么

f(21,4) = (1+4)%21 = 5。 

其他多余的验证就不做了。

代码

public int getLastIndexByOnline(int n, int m) {
//n=0,空集.m=0,不删除
if (n < 1 || m < 1) {
return -1;
}
int last = 0;
//当n=1的时候,返回的就是下标就是0,当n>=2的时候才有必要做循环遍历
for (int i = 2; i <= n; i++) {
last = (last + m) % i;
}
return last;
}

public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int n = 20;
int m = 8;
Problem18 problem = new Problem18();
int index = problem.getLastIndexByOnline(n, m);
System.out.println("最后一个数是 : " + index);
}

输出

最后一个数是 : 0

总结

这题不在于考察你的代码能力，也不考察你的数据结构和算法。考察的是你的推导能力。