牛顿迭代法

牛顿迭代法（英文名Newton’s Iteration）是用来求函数的根的高效算法。

递推公式为

图1

大概思想：


如图所示，取一个点（xn，f(xn)），过该点作切线交x轴于（xn+1，0)很容易得到



稍微变形，就可以得到最开始给出的公式。

这大概是一个无限逼近的思想，通过一次计算得到xn+1当作下次计算的xn，一直递推下去，因为斜率一直都更加逼近f ’（x），虽然△y不断变小，但是算法效率还是相当高的，每一次运算得到的的精度，大概都会增加一倍，计算7~10步，就可以得到一个精度相当高的近似值。

作用举例，我现在想求x^(1/3);

首先，我需要构造函数，f(x)=x^3 -n,这样我只要求出f(x)=0的根，即为：使x^3=n的x；即为n的1/3次幂；

带入公式（图1） 可得

递推即可轻松求解。

C的sqrt()就是利用这个算法求的