Bzoj 1036 树的统计 分类: ACM TYPE 2014-12-29 18:55 72人阅读 评论(0) 收藏
2014-12-29 18:55
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Description
一棵树上有n个节点,编号分别为1到n,每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作: I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值 III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意:从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身Input
输入的第一行为一个整数n,表示节点的个数。接下来n – 1行,每行2个整数a和b,表示节点a和节点b之间有一条边相连。接下来n行,每行一个整数,第i行的整数wi表示节点i的权值。接下来1行,为一个整数q,表示操作的总数。接下来q行,每行一个操作,以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。 对于100%的数据,保证1<=n<=30000,0<=q<=200000;中途操作中保证每个节点的权值w在-30000到30000之间。Output
对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作,每行输出一个整数表示要求输出的结果。Sample Input
41 2
2 3
4 1
4 2 1 3
12
QMAX 3 4
QMAX 3 3
QMAX 3 2
QMAX 2 3
QSUM 3 4
QSUM 2 1
CHANGE 1 5
QMAX 3 4
CHANGE 3 6
QMAX 3 4
QMAX 2 4
QSUM 3 4
Sample Output
41
2
2
10
6
5
6
5
16
题解
2014.4.6 树链剖分。。。参照了蒋一瑶神犇模板
http://wenku.baidu.com/link?url=SGLjpJtYbJ0HxDYlU_GMXE1qCFS0gbmpDGWPxI7mQuNAsJP0y872mNKwpZ8P054g5XMhFGZbMUjZvN5hcnxFFUEfGBj6-tnkpnJvnVSlqGS
树链剖分就是把树拆成一系列链,然后用数据结构对链进行维护。
通常的剖分方法是轻重链剖分,所谓轻重链就是对于节点u的所有子结点v,size[v]最大的v与u的边是重边,其它边是轻边,其中size[v]是以v为根的子树的节点个数,全部由重边组成的路径是重路径,根据论文上的证明,任意一点到根的路径上存在不超过logn条轻边和logn条重路径。
这样我们考虑用数据结构来维护重路径上的查询,轻边直接查询。
通常用来维护的数据结构是线段树,splay较少见。
具体步骤
预处理
第一遍dfs求出树每个结点的深度deep[x],其为根的子树大小size[x]
以及祖先的信息fa[x][i]表示x往上距离为2^i的祖先
第二遍dfs
根节点为起点,向下拓展构建重链
选择最大的一个子树的根继承当前重链
其余节点,都以该节点为起点向下重新拉一条重链
给每个结点分配一个位置编号,每条重链就相当于一段区间,用数据结构去维护。
把所有的重链首尾相接,放到同一个数据结构上,然后维护这一个整体即可
修改操作
1、单独修改一个点的权值
根据其编号直接在数据结构中修改就行了。
2、修改点u和点v的路径上的权值
(1)若u和v在同一条重链上
直接用数据结构修改pos[u]至pos[v]间的值。
(2)若u和v不在同一条重链上
一边进行修改,一边将u和v往同一条重链上靠,然后就变成了情况(1)。
查询操作
查询操作的分析过程同修改操作
题目不同,选用不同的数据结构来维护值,通常有线段树和splay
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #define inf 0x7fffffff #define N 30005 #define M 60005 using namespace std; int n,q,cnt,sz; int fa [15],v ,deep ,size ,head ; int pos ,belong ; bool vis ; struct data{int to,next;}e[M]; struct seg{int l,r,mx,sum;}t[100005]; void insert(int u,int v) { e[++cnt].to=v;e[cnt].next=head[u];head[u]=cnt; e[++cnt].to=u;e[cnt].next=head[v];head[v]=cnt; } void ini() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<n;i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); insert(x,y); } for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&v[i]); } void dfs1(int x) { size[x]=1;vis[x]=1; for(int i=1;i<=14;i++) { if(deep[x] < (1<<i))break; fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];//倍增处理祖先信息 } for(int i=head[x];i;i=e[i].next) { if(vis[e[i].to])continue; deep[e[i].to]=deep[x]+1; fa[e[i].to][0]=x; dfs1(e[i].to); size[x]+=size[e[i].to]; } } void dfs2(int x,int chain) { int k=0;sz++; pos[x]=sz;//分配x结点在线段树中的编号 belong[x]=chain; for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(deep[e[i].to]>deep[x]&&size[e[i].to]>size[k]) k=e[i].to;//选择子树最大的儿子继承重链 if(k==0)return; dfs2(k,chain); for(int i=head[x];i;i=e[i].next) if(deep[e[i].to]>deep[x]&&k!=e[i].to) dfs2(e[i].to,e[i].to);//其余儿子新开重链 } int lca(int x,int y)//求lca { if(deep[x]<deep[y])swap(x,y); int t=deep[x]-deep[y]; for(int i=0;i<=14;i++) if(t&(1<<i))x=fa[x][i]; for(int i=14;i>=0;i--) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) {x=fa[x][i];y=fa[y][i];} if(x==y)return x; else return fa[x][0]; } void build(int k,int l,int r)//建线段树 { t[k].l=l;t[k].r=r; if(l==r)return; int mid=(l+r)>>1; build(k<<1,l,mid); build(k<<1|1,mid+1,r); } void change(int k,int x,int y)//线段树单点修改 { int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1; if(l==r){t[k].sum=t[k].mx=y;return;} if(x<=mid)change(k<<1,x,y); else change(k<<1|1,x,y); t[k].sum=t[k<<1].sum+t[k<<1|1].sum; t[k].mx=max(t[k<<1].mx,t[k<<1|1].mx); } int querysum(int k,int x,int y)//线段树区间求和 { int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1; if(l==x&&y==r)return t[k].sum; if(y<=mid)return querysum(k<<1,x,y); else if(x>mid)return querysum(k<<1|1,x,y); else {return querysum(k<<1,x,mid)+querysum(k<<1|1,mid+1,y);} } int querymx(int k,int x,int y)//线段树区间求最大值 { int l=t[k].l,r=t[k].r,mid=(l+r)>>1; if(l==x&&y==r)return t[k].mx; if(y<=mid)return querymx(k<<1,x,y); else if(x>mid)return querymx(k<<1|1,x,y); else {return max(querymx(k<<1,x,mid),querymx(k<<1|1,mid+1,y));} } int solvesum(int x,int f) { int sum=0; while(belong[x]!=belong[f])//不在一条重链上就将x跳到链首,走一条轻边,如此反复 { sum+=querysum(1,pos[belong[x]],pos[x]); x=fa[belong[x]][0]; } sum+=querysum(1,pos[f],pos[x]); return sum; } int solvemx(int x,int f) { int mx=-inf; while(belong[x]!=belong[f]) { mx=max(mx,querymx(1,pos[belong[x]],pos[x])); x=fa[belong[x]][0]; } mx=max(mx,querymx(1,pos[f],pos[x])); return mx; } void solve() { build(1,1,n); for(int i=1;i<=n;i++) change(1,pos[i],v[i]); scanf("%d",&q);char ch[6]; for(int i=1;i<=q;i++) { int x,y;scanf("%s%d%d",ch,&x,&y); if(ch[0]=='C'){v[x]=y;change(1,pos[x],y);} else { int t=lca(x,y); if(ch[1]=='M') printf("%d\n",max(solvemx(x,t),solvemx(y,t))); else printf("%d\n",solvesum(x,t)+solvesum(y,t)-v[t]); } } } int main() { freopen("in.in","r",stdin); ini(); dfs1(1); dfs2(1,1); solve(); return 0; }
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