最小生成树--Prime算法

最小生成树

定义：n个顶点网络的生成树有n个结点，n-1条分枝。假设网络中有m条边(m≥n-1)，用MST表示许多可能的生成树的集合，每棵树中n-1条分枝上的权之和用WG(T)表示，则使得WG(Tmin)=Min{WG(T)|
T MST}的生成树Tmin便是网络的最小生成树。

构造最小生成树的算法：Prime算法 和Kruskal算法


Prime算法

1.可取图中任意一个顶点v作为生成树的根，之后如果要往生成树上添加顶点w，则在顶点
v 和
w之间必定存在一条边(v,w)，并且该边的权值在所有连通顶点v和
w 之间的边中取值最小。
2.一般情况下，假设n个顶点分成两个集合：U（包含已经落在生成树上的顶点）和V-U（尚未落在生成树上的顶点），则在所有连通U中顶点和V-U中顶点的边中选取权值最小的边。

算法思想：假设N=(V，{E})是一个连通图，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0
}(u0 V)，TE={ }开始，重复执行下述操作：在所有u U，v V－U的边(u, v)
{E}中找一条代价最小的边(u0, v0)并入集合TE，同时v0并入U，直至U=V为止。此时，TE中必有n-1条边，则T=(V，{TE})为N的最小生成树。

如下图所示：