bzoj 1010 HNOI2008 玩具装箱toy 斜率优化+DP
2014-12-27 23:29
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bzoj 1010 玩具装箱toy
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Description
P教授要去看奥运,但是他舍不下他的玩具,于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩,其可以将任意物品变成一堆,再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具,第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理,P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具,那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物,形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中,那么容器的长度将为x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关,根据教授研究,如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目,他可以制作出任意长度的容器,甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N,L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7Output
输出最小费用Sample Input
5 43
4
2
1
4
Sample Output
1暴力过不了.......
于是斜率优化+dp
首先预处理:
sum[i]+=sum[i-1]+1;
l--;
dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(sum[i]-sum[j]-l)^2
假设对于dp[i] 决策j比决策k好(j<k)
即 dp[j]+(sum[i]-sum[j]-l)^2<dp[k]+(sum[i]-sum[k]-l)^2;
dp[j]+sum[i]^2-2*sum[i]*sum[j]+sum[j]^2-2*sum[i]*l+2*sum[j]*l<dp[k]+sum[i]^2-2*sum[i]*sum[k]+sum[k]^2-2*sum[i]*l+2*sum[k]*l;
移项得:
dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2+2*(sum[j]*l-sum[k]*l)s<2*sum[i](sum[j]-sum[k])
dp[j]-dp[k]+sum[j]^2-sum[k]^2<2*sum[i](sum[j]-sum[k])-2*(sum[j]*l-sum[k]*l)
设yj=dp[j]+sum[j]^2+2*l*sum[j],xj=2*sum[j];
即(yj-yk)/(xj-xk)>sum[i];
注意:此结论前提是:对于dp[i] 决策j比决策k好(j<k)
所以设g(j,k)=(yj-yk)/(xj-xk)
若g(j,k)<sum[i], 则j 决策比k好
设 m<k<j
若g(j,k)<g(k,m) 则k一定不属于最优解集,可以直接删去
为什么?
若g(j,k)<sum[i],说明j比k要好;
若g(j,k)>=sum[i],那么此时j就更优,但g(k,m)>g(j,k)>sum[i]说明有m比k优,所以排除k;
通过以上优化,斜率之间就是递减关系,呈现上凸;
对于这道题,总结一下,我们可以这样:
用一个单调队列维护解集
假设队列中从左往右已有a,b,c,那么d入队时,我们维护斜率上凸性质,即若g(d,c)<g(c,b)就删去c,直到g(d,x)>=g(x,y)(y为x前一个元素)为止
求解时,从前往后a,b,c,若g(b,a)<sum[i],则b比a更好,就删去a;
最后dp[i]更新;
坑我半天的是l要加1.......具体为什么:自己想.......
注意Ci,要用long long
#include<cstdio> #include<iostream> #include<iostream> #include<cstring> #define MAXN 51000 using namespace std; long long n,l,head,tail; long long dp[MAXN],sum[MAXN],q[MAXN]; long long getdp(long long i,long long j) { return dp[j]+(sum[i]-sum[j]-l)*(sum[i]-sum[j]-l); } long long getup(long long i,long long j) { return dp[i]+sum[i]*sum[i]-dp[j]-sum[j]*sum[j]+2*l*(sum[i]-sum[j]); } long long getdown(long long i,long long j) { return 2*(sum[i]-sum[j]); } int main() { scanf("%lld%lld",&n,&l); for(long long i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&sum[i]); } for(long long i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1]+1; q[tail++]=0;l++; for(long long i=1;i<=n;i++) { while(head+1<tail && getup(q[head+1],q[head])<=sum[i]*getdown(q[head+1],q[head])) head++; dp[i]=getdp(i,q[head]); //cout<<endl<<q[head]<<" "<<dp[i]<<endl<<endl; while(head+1<tail && getup(i,q[tail-1])*getdown(q[tail-1],q[tail-2])<=getup(q[tail-1],q[tail-2])*getdown(i,q[tail-1])) tail--; q[tail++]=i; } printf("%lld",dp ); return 0; }
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