Bresenham快速画直线算法

直线光栅化

直线光栅化是指用像素点来模拟直线. 比如下图中用蓝色的像素点来模拟红色的直线. 图中坐标系是显示器上的坐标系: x轴向右, y轴向下.



设deltaX = endX – startX, deltaY = endY – startY. 那么斜率为k = deltaY / deltaX. 

我们先考虑简单的情况: 当 0 < k < 1即直线更贴近x轴. 在这种情况下deltaY < deltaX, 

所以在光栅化的过程中, 在y轴上描的点比在x轴上描点少. 那么就有一个很直观的光栅化算法:

line_bresenham(startX, startY, endX, endY)
{
deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
k = deltaY / deltaX;

for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)
{
if (满足一定条件)
{
++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}

基于斜率 / 距离的两个简单直线光栅化算法

“满足一定条件”是什么? 可以用斜率判断, 也可以用上图中直线与光栅线交点 (红点) 与光栅点 (蓝点) 的距离来判断.

算法1: 用斜率判断

void line_bresenham_k(startX, startY, endX, endY)
{
deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
k = deltaY / deltaX;

for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)
{
if (x - startX != 0)
{
// 计算当前斜率
currentK = (y - startY) / (x - startX);

// 如果当前斜率 < k, 则增加y坐标
if (currentK < k)
{
++y
}
}
drawPixel(x, y);
}
}

算法2: 用距离判断. 

计算直线与光栅线交点y坐标我们需要用到直线方程 y = k (x - startX) + startY

line_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY)
{
deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
k = deltaY / deltaX;

for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)
{
// 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离
ptY = k * (x - startX) + startY;
dist = ptY - y;

// 如果距离 > 0.5或者 < -0.5, 说明我们需要增加y以
// 将距离的绝对值控制在0.5之类
if (dist > 0.5 || dist < -0.5)
{
++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}

处理浮点数

首先, k是一个浮点数, 0.5也是浮点数. 所以可以通过将这些表达式都乘以2 * deltaX (整数) 来解决浮点数的问题
line_bresenham_dist(startX, startY, endX, endY)
{
deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;

for (x = startX, y = startY; x <= endX; ++x)
{
// 计算直线与光栅线交点的y坐标, 以及与光栅点的距离
ptY1 = deltaY * (x - startX) + startY * deltaX;
dist1 = ptY1 - y * deltaX;
dist1 = dist1 << 1; // dist1 = dist1 * 2

// 如果距离 > 0.5或者 < -0.5, 说明我们需要增加y以
// 将距离的绝对值控制在0.5之类
if (dist1 > deltaX || dist < -deltaX)
{
++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}

处理乘法

dist = 直线与光栅线交点的y坐标 – 相应光栅点的y坐标

我们从几何上直观地考虑: 在第n次循环中, 我们先根据上一次循环所计算出来的d1, 暂时令d2 = d1 + k, 因为我们要保证-0.5 < d2 < 0.5, 而d1 + k满足d1 + k > –0.5, 所以我们只需要考虑当d1 + k > 0.5时, 我们需要将光栅点y坐标增加1, 并且将d2减去1. 显然, 设y1是第n – 1次循环中光栅点的y坐标, y2是第n次循环中光栅点的y坐标. 我们有

1) d2 = d1 + k – (y2 – y1)

2) 当d1 + k > 0.5时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1

我们已经能根据上面的两个关系式写出算法, 不过为了消除乘法和浮点数, 我们将这两个关系式两端同时乘以2 * deltaX, 并且设e = 2 * deltaX * d, 则我们有

3) e2 = e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)

4) 当e1 + 2 * deltaY > deltaX时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1
line_bresenham(startX, startY, endX, endY)
{
deltaX = endX - startX;
deltaY = endY - startY;
e = 0;
deltaX2 = deltaX << 1;
deltaY2 = deltaY << 1;

drawPixel(startX, startY);

for (x = startX + 1, y = startY; x <= endX; ++x)
{
// 关系式3) e2 = e1 + 2 * deltaY – 2 * deltaX * (y2 – y1)
// 关系式4) 当e2 + 2 * deltaY > deltaX时y2 = y1 + 1, 否则y2 = y1
e += deltaY2;
if (e > deltaX)
{
e -= deltaX2;
++y;
}
drawPixel(x, y);
}
}

注意事项

在实际应用中，我们会发现，当dy > dx或出现Fig.2 右图情况时时，便得不到想要的结果，这是由于我们只考虑dx > dy， 且x, y的增量均为正的情况所致。经过分析，需要考虑8种不同的情况，如下：



当然，如果直接在算法中对8种情况分别枚举， 那重复代码便会显得十分臃肿，因此在设计算法时必须充分考虑上述各种情况的共性