(3)最大子段和问题____动态规划

最大子段和问题就是：

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a
,求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为：

Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n

例如，当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

一.线性最大子段和问题(一)

第一种思路：传统暴力法

枚举每个子段的左边和右边,然后算出和,不断更新和的最大值,枚举完,最大值就出来了.(时间复杂度O(n^2))

代码：

int MaxSum(int *v,int n,int *besti,int *bestj)
{
int sum=0;
int i,j;
for (i=1;i<=n;i++)
{
int thissum=0;
for (j=i;j<=n;j++)
{
thissum+=v[j];
if (thissum>sum)
{
sum=thissum;
*besti=i;
*bestj=j;
}
}
}
return sum;
}

第二种思路： 分治思想

将a[1

n]分成a[1

n/2]和a[n/2+1

n],则a[1

n]的最大字段和有三种情况:

(1)a[1

n]的最大子段和与a[1

n/2]的最大子段和相同

(2)a[1

n]的最大子段和与a[n/2

n]的最大子段和相同

(3)a[1

n]的最大子段和为ai+

+aj,1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n

T(n)=2T(n/2)+O(n)

T(n)=O(nlogn)

代码:

int MaxSum_DIV(int *v,int l,int r)
{
int k,sum=0;
if(l==r)
return v[l]>=0?v[l]:0;
else
{
int center=(l+r)/2;
int lsum=MaxSum_DIV(v,l,center);
int rsum=MaxSum_DIV(v,center+1,r);

int s1=0;
int lefts=0;
for (k=center;k>=l;k--)   //这里算的是conter为右边的最大子序列和.
{
lefts+=v[k];
if(lefts>s1)
s1=lefts;
}

int s2=0;
int rights=0;
for (k=center+1;k<=r;k++)  //这里算的是conter+1为左边的最大子序列和.
{
rights+=v[k];
if(rights>s2)
s2=rights;
}
sum=s1+s2;       //sum就是当前横跨中间conter的最大子序列和.
if(sum<lsum)
sum=lsum;
if(sum<rsum)
sum=rsum;
}
return sum;
}                    //整体来说和平面最近点对的思路有异曲同工之妙.

第三种思路： 动态规划
b[j]=max{a[i]+

+a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。

由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为:

b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。

T(n)=O(n)



代码：

int MaxSum_DYN(int *v,int n)
{
int sum=0,b=0;
int i;
for (i=1;i<=n;i++)
{
if(b>0)
b+=v[i];
else
b=v[i];
if(b>sum)
sum=b;
}
return sum;
}

二.线性最大子段和问题(二)

在(一)的基础上,要求子段长度不得超过k;

思路：

从a[0]开始枚举所有连续的k大小的连续序列,对每个序列求连续最大子段和.不断更新即可.(时间复杂度O(k*(n-k+1)));

以上是线性最大子序列和,如果是环形的呢?意思就是在线性的基础上,最后一个元素过了是第一个元素,从而形成一个环.

三.环性最大子段和问题

思路一：

若元素全为非负数，则最大和为所有元素相加。
否则，把该环形数组从某一点展开，连写两遍（复制一份接到自己后面），然后当成无环的数组求最大子数组和，但这里要限制一个条件，就是最大子数组的长度不可以超过n，所以求的时候要注意判断。
假如数组为{-1,2,3,4}，则展开复制一份接到自己后面为-1,2,3,4,-1,2,3,4，此时若直接求则为2,3,4,-1,2,3,4，很明显不对了，所以要限定最大子数组的长度不可以超过n.

问题转化为：线性最大子段和(二).

思路二：

这个问题的最优解一定是以下两种可能。
可能一：最优解没有跨过a[n-1]到a[0]，即和非环形数组一样了。
可能二：最优解跨过a[n-1]到a[0]，新问题。

对于可能1：我们直接用线性最大子段和便可以求出来.
对于可能2：我们要用新的思路,我们现在知道最大的最优解跨过了a[n-1]到a[0]那么我们可以把问题转化为求a[0]~a[n-1]的最小子段和问题,因为所有数的和已经定了,如果最大的最优解跨过了a[n-1]和a[0]那么最小的最优解一定没有跨过.这样又可以把问题转化为线性最大子段和问题.

思路二的 时间复杂度( O(N));