时间复杂度的计算

定义：如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。
我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。
此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。
“大O记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n的函数。这里的“O”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”,也就是说它需要“通过logn量级的步骤去检索一个规模为n的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。

O(1)

Temp=i;

i=j;

j=temp;                    

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)

交换i和j的内容

     sum=0；                 （一次）

     for(i=1;i<=n;i++)       （n次 ）

        for(j=1;j<=n;j++) （n^2次 ）

         sum++；       （n^2次
）

解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

 

    for (i=1;i<n;i++)

    {

        y=y+1;         ①   

        for (j=0;j<=(2*n);j++)    

           x++;        ②      

    }         

解： 语句1的频度是n-1

          语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1

          f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2

          该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).         

O(n)      

                                                      

    a=0;

    b=1;                      ①

    for (i=1;i<=n;i++) ②

    {  

       s=a+b;　　　　③

       b=a;　　　　　④  

       a=s;　　　　　⑤

    }

解：语句1的频度：2,        

           语句2的频度： n,