数据结构（C++版）第六章 图 笔记

图的定义和基本用语
在树中常将数据元素称为顶点。
1.定义
图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G=(V，E)。其中：G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中顶点之间边的集合。
注意：在线性表中，元素个数可以为零，称为空表；
在树中，结点个数可以为零，称为空树；
在图中，顶点个数不能为零，但可以没有边。
若顶点vi和vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(vi,vj)；如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图。
若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，表示为<vi,vj>；如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。
2.基本术语
简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。
邻接、依附
无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。
有向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在弧<vi，vj>，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶点vi，同时称弧<vi，vj>依附于顶点vi和顶点vj
。
逻辑关系的对比：
（1）在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系；
在树结构中，结点之间具有层次关系；
在图结构中，任意两个顶点之间都可能有关系。
（2）在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继；
在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子；
在图结构中，顶点之间的关系为邻接。
无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。
有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。
含有n个顶点的无向完全图有n×(n-1)/2条边。
含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边。
稀疏图：称边数很少的图为稀疏图；
稠密图：称边数很多的图为稠密图。
顶点的度：在无向图中，顶点v的度是指依附于该顶点的边数，通常记为TD(v)。
在具有n个顶点e条边的无向图中，所有顶点的度之和为：2e。
顶点的入度：在有向图中，顶点v的入度是指以该顶点为弧头的弧的数目，记为ID(v)；
顶点的出度：在有向图中，顶点v的出度是指以该顶点为弧尾的弧的数目，记为OD(v)。
在具有n个顶点e条边的有向图中，所有顶点的入度之和与出度之和都等于e。
权：是指对边赋予的有意义的数值量。
网：边上带权的图，也称网图。
路径：在无向图G=(V, E)中，从顶点vp到顶点vq之间的路径是一个顶点序列(vp=vi0,vi1,vi2,…,
vim=vq)，其中，(vij-1,vij)∈E（1≤j≤m）。若G是有向图，则路径也是有方向的，顶点序列满足<vij-1,vij>∈E。
路径长度：
非带权图——路径上边的个数
带权图——路径上各边的权之和
回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单路径：序列中顶点不重复出现的路径。
简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。
子图：若图G=（V，E），G'=（V'，E'），如果V'ÍV
且E' Í E
，则称图G'是G的子图。
连通图：在无向图中，如果从一个顶点vi到另一个顶点vj(i≠j)有路径，则称顶点vi和vj是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。
连通分量：非连通图的极大连通子图称为连通分量。
强连通图：在有向图中，对图中任意一对顶点vi和vj
(i≠j)，若从顶点vi到顶点vj和从顶点vj到顶点vi均有路径，则称该有向图是强连通图。
强连通分量：非强连通图的极大强连通子图。
生成树：n个顶点的连通图G的生成树是包含G中全部顶点的一个极小连通子图。
生成森林：在非连通图中，由每个连通分量都可以得到一棵生成树，这些连通分量的生成树就组成了一个非连通图的生成森林。
图的抽象数据类型定义
ADTGraph
Data
顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation
InitGraph
前置条件：图不存在
输入：无
功能：图的初始化
输出：无
后置条件：构造一个空的图
DestroyGraph
前置条件：图已存在
输入：无
功能：销毁图
输出：无
后置条件：释放图所占用的存储空间
DFSTraverse
前置条件：图已存在
输入：遍历的起始顶点v
功能：从顶点v出发深度优先遍历图
输出：图中顶点的一个线性排列
后置条件：图保持不变
BFSTraverse
前置条件：图已存在
输入：遍历的起始顶点v
功能：从顶点v出发广度优先遍历图
输出：图中顶点的一个线性排列
后置条件：图保持不变
endADT
图的遍历操作
图的遍历是在从图中某一顶点出发，对图中所有顶点访问一次且仅访问一次。
深度优先遍历
基本思想：
⑴访问顶点v；
⑵从v的未被访问的邻接点中选取一个顶点w，从w出发进行深度优先遍历；
⑶重复上述两步，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。
伪代码：
1. 访问顶点v;visited[v] = 1;
2. w =顶点v的第一个邻接点；
3. while(w存在)

3.1 if(w未被访问)
从顶点w出发递归执行该算法;
3.2 w = 顶点v的下一个邻接点;
广度优先遍历
基本思想：
⑴访问顶点v；
⑵依次访问v的各个未被访问的邻接点v1,
v2,…, vk；
⑶分别从v1，v2，…，vk出发依次访问它们未被访问的邻接点，并使“先被访问顶点的邻接点”先于“后被访问顶点的邻接点”被访问。直至图中所有与顶点v有路径相通的顶点都被访问到。
伪代码：
1. 初始化队列Q;
2. 访问顶点v;visited [v]=1;
顶点v入队列Q;
3. while(队列Q非空)

3.1 v=队列Q的队头元素出队;
3.2 w=顶点v的第一个邻接点;
3.3while (w存在)
3.3.1 如果w
未被访问，则
访问顶点w; visited[w]=1;
顶点w入队列Q；
3.3.2 w=顶点v的下一个邻接点；
6.2 图的存储结构及实现
邻接矩阵
基本思想：用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中各顶点之间的邻接关系。
假设图G＝(V，E)有n个顶点，则邻接矩阵是一个n×n的方阵,那么：若(vi,
vj)∈E（或<vi,vj>∈E），arc[i][j]=1;否则，arc[i][j]=0。
对于无向图，主对角线为 0
且一定是对称矩阵；
顶点i的度为邻接矩阵的第i行（或第i列）非零元素的个数；
判断顶点 i
和 j
之间是否存在边：测试邻接矩阵中相应位置的元素arc[i][j]是否为1。
求顶点 i
的所有邻接点：将数组中第 i
行元素扫描一遍，若arc[i][j]为1，则顶点
j 为顶点 i
的邻接点。
对于有向图：
求顶点 i
的出度：邻接矩阵的第 i
行元素之和。
求顶点 i
的入度：邻接矩阵的第 i
列元素之和。
判断从顶点 i
到顶点 j
是否存在边：测试邻接矩阵中相应位置的元素arc[i][j]是否为1。
网图的邻接矩阵可定义为：
若(vi, vj)∈E（或<vi,vj>∈E）,则arc[i][j]=wij;若i=j,则w[i][j]=0;否则，w[i][j]=∞
~邻接矩阵的类的声明：
constint MaxSize=10;

template<class DataType>
classMgraph
{
public:
MGraph(DataTypea[ ], int n, int e );

~MGraph()
voidDFSTraverse(int v);

voidBFSTraverse(int v);

private:
DataTypevertex[MaxSize];

int arc[MaxSize][MaxSize];
intvertexNum, arcNum;

};
~邻接矩阵中图的基本操作
~构造函数
伪代码：
1.确定图的顶点个数和边的个数；
2. 输入顶点信息存储在一维数组vertex中；
3. 初始化邻接矩阵；
4.次输入每条边存储在邻接矩阵arc中；
4.1 输入边依附的两个顶点的序号i, j；
4.2 将邻接矩阵的第i行第j列的元素值置为1；
4.3 将邻接矩阵的第j行第i列的元素值置为1；
算法MGraph
template<class DataType>
MGraph<DataType>:: MGraph(DataType a[ ], int n, int e)

{
vertexNum= n; arcNum = e;
for (i =0; i < vertexNum; i++)

vertex[i]= a[i];
for (i =0; i < vertexNum; i++) //初始化邻接矩阵
for (j =0; j < vertexNum; j++)
arc[i][j]= 0;
for (k =0; k < arcNum; k++) //依次输入每一条边
{
cin>> i >> j; //输入边依附的两个顶点的编号
arc[i][j]= 1; arc[j][i] = 1; //置有边标志
}
}
深度优先遍历
算法DFSTraverse
template<class DataType>
voidMGraph<DataType> :: DFSTraverse(int v)

{
cout<< vertex[v]; visited[v] = 1;
for (j =0; j < vertexNum; j++)
if(arc[v][j] == 1 && visited[j] == 0) DFSTraverse( j );
}
广度优先遍历
算法BFSTraverse
template<class DataType>
voidMGraph<DataType> :: BFSTraverse(int v)

{
front =rear = -1; //初始化顺序队列
cout<< vertex[v]; visited[v] = 1; Q[++rear] = v;

while(front != rear) //当队列非空时
{
v =Q[++front]; //将队头元素出队并送到v中
for (j =0; j < vertexNum; j++)
if(arc[v][j] == 1 && visited[j] == 0 ) {
cout<< vertex[j]; visited[j] = 1; Q[++rear] = j;
}
}
}
邻接表
邻接表存储的基本思想：对于图的每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点链成一个单链表，称为顶点vi的边表（对于有向图则称为出边表），所有边表的头指针和存储顶点信息的一维数组构成了顶点表。
邻接表有两种结点结构：顶点表结点和边表结点。
vertex：数据域，存放顶点信息。
firstedge：指针域，指向边表中第一个结点。
adjvex：邻接点域，边的终点在顶点表中的下标。
next：指针域，指向边表中的下一个结点。
~定义邻接表的结点
structArcNode
{
intadjvex;
ArcNode*next;
};
template<class DataType>
structVertexNode
{
DataTypevertex;
ArcNode*firstedge;
};
每个结点对应图中的一条边，邻接表的空间复杂度为O(n+e)。
求顶点 i
的度：顶点i的边表中结点的个数。
判断顶点 i
和顶点 j之间是否存在边：测试顶点 i
的边表中是否存在终点为 j
的结点。
求顶点 i
的出度：顶点 i
的出边表中结点的个数。
求顶点 i
的入度：各顶点的出边表中以顶点i
为终点的结点个数。
求顶点 i
的所有邻接点：遍历顶点 i
的边表，该边表中的所有终点都是顶点i
的邻接点。
类的声明：
const intMaxSize = 10; //图的最大顶点数
template<class DataType>
classALGraph
{
public:
ALGraph(DataTypea[ ], int n, int e);

~ALGraph;
voidDFSTraverse(int v);

voidBFSTraverse(int v);

private:
VertexNodeadjlist[MaxSize];

intvertexNum, arcNum;

};
~邻接表中图的基本操作
构造函数ALGraph
伪代码：
1. 确定图的顶点个数和边的个数；
2. 输入顶点信息，初始化该顶点的边表；
3. 依次输入边的信息并存储在边表中；
3.1 输入边所依附的两个顶点的序号i和j；
3.2 生成邻接点序号为j的边表结点s；
3.3 将结点s插入到第i个边表的头部；
算法
template<class DataType>
ALGraph<DataType>:: ALGraph(DataType a[ ], int n, int e)
{
vertexNum= n; arcNum = e;
for (i =0; i < vertexNum; i++)
{ //输入顶点信息，初始化顶点表
adjlist[i].vertex= a[i];
adjlist[i].firstedge= NULL;

}
for (k =0; k < arcNum; k++) //输入边的信息存储在边表中
{
cin>>i>>j;
s = newArcNode; s->adjvex = j;

s->next= adjlist[i].firstedge;

adjlist[i].firstedge= s;
}
}
深度优先遍历DFSTraverse
算法
template<class DataType>
voidALGraph<DataType> :: DFSTraverse(int v)
{
cout<< adjlist[v].vertex; visited[v] = 1;
p =adjlist[v].firstedge; //工作指针p指向顶点v的边表
while (p!= NULL) //依次搜索顶点v的邻接点j
{
j =p->adjvex;
if (visited[j]== 0) DFSTraverse(j);
p =p->next;
}
}
广度优先遍历BFSTraverse
算法
template<class DataType>
voidALGraph<DataType> :: BFSTraverse(int v)

{
front =rear = -1; //初始化顺序队列
cout<< adjlist[v].vertex; visited[v] = 1; Q[++rear] = v;
while(front != rear) //当队列非空时
{
v =Q[++front];
p =adjlist[v].firstarc; //工作指针p指向顶点v的边表
while (p!= NULL)
{
j =p->adjvex;
if(visited[j] == 0) {
cout<< adjlist[j].vertex; visited[j] = 1;Q[++rear] = j;
}
p=p->next;
}
}
}
十字链表
十字链表的结点结构:
vertex：数据域，存放顶点信息；
firstin：入边表头指针；
firstout：出边表头指针；
tailvex：弧的起点在顶点表中的下标；
headvex：弧的终点在顶点表中的下标；
headlink：入边表指针域；
taillink：出边表指针域。
邻接多重表
邻接多重表主要用于存储无向图。
vertex：数据域，存储有关顶点的数据信息；
firstedge：边表头指针，指向依附于该顶点的边表；
ivex、jvex：与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标；
ilink：指针域，指向依附于顶点ivex的下一条边；
jlink：指针域，指向依附于顶点jvex的下一条边。
最小生成树
生成树的代价：设G = (V, E)是一个无向连通网，生成树上各边的权值之和称为该生成树的代价。
最小生成树：在图G所有生成树中，代价最小的生成树称为最小生成树。
MST性质
假设G=(V, E)是一个无向连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若(u,
v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V－U，则必存在一棵包含边(u,
v)的最小生成树。
Prim算法
基本思想：设G=(V, E)是具有n个顶点的连通网，T=(U,TE)是G的最小生成树，
T的初始状态为U={u0}（u0∈V），TE={
}，重复执行下述操作：在所有u∈U，v∈V-U的边中找一条代价最小的边(u,
v)并入集合TE，同时v并入U，直至U=V。
~基本思想的伪代码为：
1. 初始化：U = {v0}；
TE={ }；
2. 重复下述操作直到U = V：
2.1 在E中寻找最短边(u，v)，且满足u∈U，v∈V-U；
2.2 U =U + {v}；
2.3 TE =TE + {(u，v)}；
~Prim算法——伪代码
1. 初始化两个辅助数组lowcost和adjvex；
2. 输出顶点u0，将顶点u0加入集合U中；
3. 重复执行下列操作n-1次
3.1 在lowcost中选取最短边，取adjvex中对应的顶点序号k；
3.2 输出顶点k和对应的权值；
3.3 将顶点k加入集合U中；
3.4 调整数组lowcost和adjvex；
Prim算法
voidPrim(MGraph G)
{
for(i=1;i<G.vertexNum;i++)
{
shortEdge[i].lowcast=G.arc[0][i];
shortEdge[i].adjvex=0;
}
shortEdge[0].lowcast=0;
for(i=1;i<G.vertexNum;i++)
{
k=MinEdge(shortEdge,G.vertexNum);
cout<<"("<<k<<shortEdge[k].adjvex<<")"<<shortEdge[k].lowcast;
shortEdge[k].lowcast=0;
for(j=1;j<G.vertexNum;j++)
if(G.arc[k][j]<shortEdge[j].lowcast)
{
shortEdge[j].lowcast=G.arc[k][j];
shortEdge[j].adjvex=k;
}
}
}
Kruskal算法
基本思想：设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U,
TE)，其初态为U＝V，TE＝{
}，然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。
Kruskal算法的基本思想用伪代码描述如下：
1. 初始化：U=V；TE={
}；
2. 重复下述操作直到T中的连通分量个数为1：
2.1 在E中寻找最短边(u，v);
2.2 如果顶点u、v位于T的两个不同连通分量，则
2.2.1 将边(u，v)并入TE；
2.2.2 将这两个连通分量合为一个；
2.3 标记边(u，v)，使得(u，v)不参加后续最短边的选取；
Kruskal算法用伪代码进一步描述为：
1. 初始化辅助数组parent
；num
= 0；
2. 依次考查每一条边for (i =0; i < arcNum; i++)
2.1 vex1= edge[i].from所在生成树的根结点；
2.2 vex2= edge[i].to所在生成树的根结点；
2.3 如果vex1 !=vex2，执行下述操作：
2.3.1parent[vex2] = vex1;
2.3.2num++;
2.3.3 if(num == n-1)
算法结束；
Kruskal算法
voidKruskal(EdgeGraph G)
{
for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
parent[i]=-1;
for(num=0,i-0;i<G.edgeNum;i++)
{
vex1=FindRoot(parent,G.edge[i].from);
vex2=FindRoot(parent,G.edge[i].to);
if(vex1!=vex2)
{
cout<<"("<<G.edge[i].from<<G.edge[i].to<<")"<<endl;
parent[vex2]=vex1;
num++;
if(num==n-1)return;
}
}
}
intFindRoot(int parent[],int v)
{
t=v;
if(parent[t]>-1)t=parent;
returnt;
}
最短路径
在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
Dijkstra算法（单源点最短路径问题）
问题描述：给定带权有向图G＝(V, E)和源点v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
Dijkstra算法基本思想：
设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi∈V-S，假设从源点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v,…,
vk，就将vk加入集合S中，并将路径v,
…, vk, vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构
数组dist
：每个分量dist[i]表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度。初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为∞。
数组path
：path[i]是一个字符串，表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径。初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为vvi；否则置path[i]空串。
数组s
：存放源点和已经生成的终点，其初态为只有一个源点v。
Dijkstra算法——伪代码
1. 初始化数组dist、path和s；
2. while(s中的元素个数<n)
2.1 在dist
中求最小值，其下标为k；
2.2 输出dist[j]和path[j]；
2.3 修改数组dist和path；
2.4 将顶点vk添加到数组s中；
Dijkstra算法
voidDijkstra(MGraph G,int v)
{
for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
{
dist[i]=G.arc[v][i];
if(dist[i]!=∞)path[i]=G.vertex[v]+G.vertex[i];
elsepath[i]=" ";
}
s[0]=v;
dist[v]=0;
num=1;
while(num<G.vertexNum)
{
for(k=0,i=0;i<G.vertexNum;i++)
if((dist[i]!=0)&&(dist[i]<dist[k]))k=i;
cout<<dist[k]<<path[k];
s[num++]=k;
for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
if(dist[i]>dist[k]+G.arc[k][i])
{
dist[i]=dist[k]+G.arc[k][i];
path[i]=path[k]+G.vertex[i];
}
dist[k]=0;
}
}
Floyd算法（每一对顶点之间的最短路径）
※问题描述：给定带权有向图G＝(V,
E)，对任意顶点vi,vj∈V（i≠j），求顶点vi到顶点vj的最短路径。
解决办法1：每次以一个顶点为源点调用Dijkstra算法。显然，时间复杂度为O(n3)。
解决办法2：弗洛伊德提出的求每一对顶点之间的最短路径算法——Floyd算法，其时间复杂度也是O(n3)，但形式上要简单些。
Floyd算法基本思想：
对于从vi到vj的弧，进行n次试探：首先考虑路径vi,v0,vj是否存在，如果存在，则比较vi,vj和vi,v0,vj的路径长度，取较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。在路径上再增加一个顶点v1，依此类推，在经过n次比较后，最后求得的必是从顶点vi到顶点vj的最短路径。
图的存储结构：带权的邻接矩阵存储结构
数组dist

：存放在迭代过程中求得的最短路径长度。
数组path

：存放从vi到vj的最短路径，初始为path[i][j]="vivj"。
~ Floyd算法——C++描述
voidFloyd(MGraph G)
{
for(i=0; i<G.vertexNum; i++)

for(j=0; j<G.vertexNum; j++)
{
dist[i][j]=G.arc[i][j];
if(dist[i][j]!=∞)

path[i][j]=G.vertex[i]+G.vertex[j];
elsepath[i][j]="";

}
for(k=0; k<G.vertexNum; k++)

for(i=0; i<G.vertexNum; i++)

for(j=0; j<G.vertexNum; j++)
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j]) {
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
path[i][j]=path[i][k]+path[k][j];
}
}
有向无环图及其应用
AOV网与拓扑排序
AOV网：
在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，称这样的有向图为顶点表示活动的网，简称AOV网。
AOV网特点：
1.AOV网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。
2.AOV网中不能出现回路。
~拓扑序列：设G=(V，E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列v1,
v2,…, vn称为一个拓扑序列，当且仅当满足下列条件：若从顶点vi到vj有一条路径，则在顶点序列中顶点vi必在顶点vj之前。
~拓扑排序：对一个有向图构造拓扑序列的过程称为拓扑排序。
拓扑序列使得AOV网中所有应存在的前驱和后继关系都能得到满足。
※拓扑排序基本思想：
⑴从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并且输出；
⑵从AOV网中删去该顶点，并且删去所有以该顶点为尾的弧；
⑶重复上述两步，直到全部顶点都被输出，或AOV网中不存在没有前驱的顶点。
※拓扑排序算法——伪代码
1. 栈S初始化；累加器count初始化；
2. 扫描顶点表，将没有前驱的顶点压栈；
3. 当栈S非空时循环
3.1 vj=退出栈顶元素；输出vj；累加器加1；
3.2 将顶点vj的各个邻接点的入度减1；
3.3 将新的入度为0的顶点入栈；
4. if(count<vertexNum)
输出有回路信息；
拓扑排序算法TopSort
voidTopSort(ALGraph G)
{
top=-1;
count=0;
for(i=0;i<G.vertexNum;i++)
if(G.adjlist[i].in==0)S[++top]=i;
while(top!=-1)
{
j=S[top--];
cout<<G.addjlist[j].vertex;
count++;
p=G.adjlist[j].firstedge;
while(p!=NULL)
{
k=p->adjvex;
G.adjlist[k].in--;
if(G.adjlist[k].in==0)S[++top]=k;
p=p->next;
}
}
if(count<G.vertexNum)cout<<"有回路";
}
AOE网与关键路径
AOE网：
在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，边上的权值表示活动的持续时间，称这样的有向图叫做边表示活动的网，简称AOE网。AOE网中没有入边的顶点称为始点（或源点），没有出边的顶点称为终点（或汇点）。
AOE网的性质：
⑴只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始；
⑵只有在进入某顶点的各活动都结束，该顶点所代表的事件才能发生。
AOE网可以回答下列问题：
1. 完成整个工程至少需要多少时间?
2. 为缩短完成工程所需的时间,
应当加快哪些活动?

~关键路径：在AOE网中，从始点到终点具有最大路径长度（该路径上的各个活动所持续的时间之和）的路径称为关键路径。
关键活动：关键路径上的活动称为关键活动。
关键路径可能不只一条，重要的是找到关键活动
要找出关键路径，必须找出关键活动,即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。
首先计算以下与关键活动有关的量：
⑴事件的最早发生时间ve[k]
⑵事件的最迟发生时间vl[k]
⑶活动的最早开始时间e[i]
⑷活动的最晚开始时间l[i]
最后计算各个活动的时间余量 l[k] - e[k]，时间余量为0者即为关键活动。
~事件的最早发生时间ve[k]

ve[k]是指从始点开始到顶点vk的最大路径长度。这个长度决定了所有从顶点vk发出的活动能够开工的最早时间。
ve[1]=0；ve[k]=max{ve[j]+len<vj,vk>} (<vj, vk>∈p[k])
p[k]表示所有到达vk的有向边的集合
~事件的最迟发生时间vl[k]

vl[k]是指在不推迟整个工期的前提下,事件vk允许的最晚发生时间。
vl
=ve
；vl[k]=min{vl[j]-len<vk, vj>}（<vk,vj>∈s[k]）
s[k]为所有从vk发出的有向边的集合
活动的最早开始时间e[i]

若活动ai是由弧<vk ,vj>表示，则活动ai的最早开始时间应等于事件vk的最早发生时间。因此，有：e[i]=ve[k]
~活动的最晚开始时间l[i]
若ai由弧<vk，vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件vj的最迟发生时间不拖后。因此，有：l[i]=vl[j]-len<vk,
vj>