数据结构与算法-学习笔记2

时间复杂度和空间复杂度
算法效率的质量方法
事后统计方法
主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法的效率高低
缺陷：必须依据事先编制好的测试程序，需要花费大量的时间和精力
事前估算方法
在计算机程序编写前，依据统计方法进行估算
总结：高级语言编写的程序，运行时消耗的时间取决于一下因素
算法采用的策略，方案
编译产生代码的质量
问题的输入规模
机器执行指令的速度
分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来
函数的渐进增长
给定两个函数f（n）和g（n），如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)
测试：算法A是4n+8，算法B是2n^2+1

次数	算法A1(4n+8)	算法A2(n)	算法B1(2n^2+1)	算法B2(n^2)
n=1	12	1	3	1
n=2	16	2	9	4
n=3	20	3	19	9
n=10	48	10	201	100
n=100	408	100	20001	10000
n=100	4008	1000	2000001	1000000

去掉实数变换不大
判断一个算法的效率时，函数中的常数和其它次要项常常可以忽略，更应该关注主项的阶数。
时间复杂度
算法时间复杂度的定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。他表示随问题规模n的增长，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数（关键需要知道执行次数==时间）
大O记法：用大写O（）来体现算法时间复杂度的记法
一般情况下，随着输入规模n的增大，T（n）增长最慢的算法，也是最优的算法
三个求和算法的时间复杂度分别为O（1），O(n)，O(n^2)
大O阶推导方法
-用常数1取代运行时间中的所有加法常数
-在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶
-最高项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
-得到最后的结果就是大O阶
int sum = 0,n = 100;
print("AAAA");
print("AAAA");
print("AAAA");
print("AAAA");
print("AAAA");
print("AAAA");
print("AAAA");
sum = (1+n)*/2
这段代码的大O是O(1)
线性阶
线性阶就是随着问题规模n的扩大，对应计算次数呈直线增长
int i,n=100,sum=0;
for(i=0;i<n;i++)
{
sum = sum+i;
}
循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次
平方阶
int i,j,n=100;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
print("AAAA")
}
}//嵌套循环
外层+1内存执行100，程序要从两个循环出来，需要执行100*100次，也就是n^2,时间复杂度就是O(n^2)
int i,j,k,n=100;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
for(k=0;k<n;k++)
{
print("AAAA")
}
}
}//嵌套循环
时间复杂度就是O(n^3)
int i,j,n=100;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=i;j<n;j++)
{
print("AAAA")
}
}//嵌套循环
这个循环，当i=0时，内循环执行n次，当n=1时，内循环则执行n-1次......总的执行次数应该是n(n-1)/2
推导大O：保留最高项，去掉n/2。去掉与最高项相乘的常数，最终的O(n^2)
持续更新......
对数阶
int i=1,n=100;
while(i<n)
{
i= i*2;
}
每次i*2之后，就举例n更近一步，假设X个2相乘后大于或等于n，则退出循环
由2^x = n 得到 x = log(2)n ，时间复杂度为O(logn)
函数调用的时间复杂度
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
function(i);
}
void function(int count)
{
print(count);
}
函数的时间复杂度是O(1)，所以整个的时间复杂度O(n)
n++;
function(n);//上一个例子中的
for(i=0;i<n;i++)
{
function(i);
}
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=i;j<n;j++)
{
print("%d",j);
}
}
时间复杂度：O(n^2)
常见时间复杂度

例子	时间复杂度	术语
5201314	O(1)	常数阶
3n+4	O(n)	线性阶
3n^2+4n+5	O(n^2)	平方阶
3log(2)n+4	O(logn)	对数阶
2n+3nlog(2)n+14	O(nlogn)	nlogn阶
n^3+2n^2+4n+6	O(n^3)	立方阶
2^n	O(2^n)	指数阶

时间复杂度所耗费的时间从小到大一次排序：
O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
平均运行时间是期望的运行时间
最坏运行时间时一种保证。通常无特别指定，运行时间都指的最坏运行时间