最小生成树-普林算法(Prim)/克鲁斯卡尔算法(Kruskal)

问题提出：

一个公司计划建立一个通信网络来连接它的一个计算机中心。可以用租用的电话线连接这些中心的任何一对。应当妊娠瘙痒哪些连接，以便保证在任何两个计算机中心之间都有通路，且网络的总成本最小？可以用下较长所示的带权图为这个问题建模，其中顶点表示计算机中心，边表示可能租用的电话线，边上的权是边所表示的电话线的月租费。通过找出一棵生成树，使得这棵树的各边的权之和为最小，就可以解决这个问题。这样的生成树称为最小生成树。

最小生成树定义：

在一个具有V个节点的连通无向图中，找到一个子图，该子图包含原图的所有节点和部分连接边，且不能形成回路，同时子图边的权值总和最小。

最小生成树的算法：

根据对安全边的不同规则，有两种算法可以生成最小生成树。即Kruskal算法和Prim算法。

1.普林算法(Prim)

该算法所具有的一个性质是集合A中的边总是构成一棵树，而不是森林。这棵树从任意一个根节点开始，一直长大到覆盖V中所有的节点为止。算法每一步在链接集合A和A之外的节点的边，选择一条轻量级边加入到集合A中。
步骤：

设是带权值的连通图，A是上最小生成树中边的集合：

（1）初始令,(), A=NULL

（2）在所有,的边中，找一条权值最小的边

（3）将并入集合A，同时并入

（4）重复上述操作直至为止，则为的最小生成树

判断规则：在所有,的边中，找一条权值最小的边，连接该边，但不能形成回路；

举例：



该图为原始图

第一步：选取一个初始节点a为根节点，并找到权值为最小的边，即为ab；



第二步：在所有,的边中，找一条权值最小的边；即权值最小边为bc或者ah；这里选取bc



第三步：在所有,的边中，找一条权值最小的边；即选择ci；



第四步：在所有,的边中，找一条权值最小的边；即选择cf；



第五步：在所有,的边中，找一条权值最小的边；即选择fg；



第六步：在所有,的边中，找一条权值最小的边；即选择gh；



第七步：在所有,的边中，找一条权值最小的边；必须保证不能形成回路，即选择cd；









最后一步：在所有,的边中，找一条权值最小的边；必须保证不能形成回路，即选择de；由于树包含了所有节点，且满足，则在此终止，为的最小生成树。



很简单的地说，就是建立一棵树T，和不在树中的顶点集合L，找出两者之间最短的距离的点，加入到树中，直到所有点加进去为止。

//d为图的邻近矩阵,p为所生成树的邻近矩阵，
//n为图中点的个数
void Prim(int **d,int **p,int n)
{
int i,j,tmp,iT,iL;
vector<int> T,L;//T是要生成的树，L为还没生成树的顶点
for(i=0;i<n;i++)
L.push_back(i);//给L赋初始
while(L.size()){//当L为空时，即已经生成树完毕
tmp=d[0][0];iT=iL=0;//以第一个点作为初始点
for(i=0;i<T.size();i++){//找出树与非树顶点之间距离最小的点，并记录
for(j=L.size()-1;j>=0;j--){
if(tmp>=d[T[i]][L[j]]){
tmp=d[T[i]][L[j]];
iT=i;iL=j;
}
}
}
cout<<L[iL]<<" ";
T.push_back(L[iL]);//将找到的点添加到树中
p[T[iT]][L[iL]]=1;
L.erase(L.begin()+iL);//且从剩余的点中删除
}
cout<<endl;
}

时间复杂度：

最小边、权的数据结构	时间复杂度（总计）
邻接矩阵、搜索	O(V2)
二叉堆、邻接表	O((V + E) log(V)) = O(E log(V))
斐波那契堆、邻接表	O(E + V log(V))

2.克鲁斯卡尔算法(Kruskal)

3.网络资源

http://blog.csdn.net/chenhanzhun/article/details/39006205
http://blog.csdn.net/niushuai666/article/details/6689285 http://baike.baidu.com/view/247951.htm?fr=aladdin