字符串的相似度

参考：
http://www.ahathinking.com/archives/116.html http://blog.csdn.net/orbit/article/details/6649322
定义字符串的相似度有很多种度量，像前面说的最长公共子序列就是其中的一种，本节所说的“编辑距离”也算是一种，简单来说，编辑距离就是将两个字符串变成相同字符串所需要的最小操作次数。所需的操作可能有：
修改一个字符（如把“a”替换为“b”）
增加一个字符（如把“abdd”变为“aebdd”）
删除一个字符（如把“travelling”变为“traveling”）

例如，对于“abcdefg”和“abcdef”两个字符串来讲，可以通过增加/减少一个“g”的方式来达到目的。上面的两种方案，都仅需要一次操作。把这个操作所需要的次数定义为两个字符串的“编辑距离”。如何计算两个字符串的“编辑距离”？

鉴于DP自底向上求解子问题的性质，我们还是对字符串从后向前分析，这样寻找编辑距离的子问题比较直观，而且分解的子问题使得递归做备忘录变得容易理解，也使得自底向上实现时对状态转移矩阵的初始化更为简便易懂。

寻找子问题时，我们完全可以像分析最长公共子序列那样分析这个问题，我觉得它们是灰常相似的，都是“从后向前”看，假设有两个串X=abcdaex，Y=fdfax，它们的最后一个字符是相同的，只要计算X[1,…,6]=abcdae和Y[1,…,4]=fdfa的距离就可以了；但是如果两个串的最后一个字符不相同，那么就可以进行如下的操作来达到目的（xlen和ylen是X串和Y串的长度）：

一步操作之后，再计算X[1,…,xlen-1]和Y[1,…ylen]的距离。这个操作可以是删除X的最后一个字符，也可以是增加X串的最后一个字符到Y串的最后字符之后
一步操作之后，再计算X[1,…,xlen]和Y[1,…ylen-1]的距离。这个操作与情况1类似，反过来而已
一步操作之后，再计算X[1,…,xlen-1]和Y[1,…ylen-1]的距离。这个操作可以是修改X串的最后有一个字符为Y串的最后一个字符，后者修改Y的变为X的最后一个字符，使得二者相同。

注意：我们计算编辑距离，并不需要关心两个字符串相等之后是怎样的，也不需要具体采取了什么操作，只是需要知道操作次数就可以，所以经过上面的分析，我们就可以尝试写状态方程了，这个的初始状态就是当两个串的长度都为0，那么编辑距离就是0，所以与最长公共子序列一样，dp[i][j]中的i和j表示串X和Y的长度，其中，如果某一个串的长度为0，则编辑距离就是另一个串的长度，这很容易理解。状态转移方程为
dp[i][j] = 0  如果i=0 & j=0
dp[i][j] = xlen | ylen  如果j=0 | i=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]  如果X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = 1 + min{ dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] }  如果X[i-1] != Y[i-1]

好，到这里问题就解决了一半，代码如下，本节给出了三种实现方式，第一种是根据分析给出的递归搜索方法；由于具有重叠子问题，所以第二种方法便是使用了备忘录的递归方法（注：分治与动态规划的重要区别就是分治递归不断产生新的子问题，没有重叠子问题；而DP则是在递归不断产生子问题的同时很多子问题是重复计算的，即重叠子问题）；第三种便是根据状态转移方程给出了自底向上的实现，这也是最符合DP性质的实现方式。

如果source[i] 等于target[j]，则：

 

d[i, j] = d[i, j] + 0                                               （递推式 1）

 

如果source[i] 不等于target[j]，则根据插入、删除和替换三个策略，分别计算出使用三种策略得到的编辑距离，然后取最小的一个：

 

d[i, j] = min(d[i, j - 1] + 1，d[i - 1, j] + 1，d[i - 1, j - 1] + 1 )            （递推式 2）

 

d[i, j - 1] + 1 表示对source[i]执行插入操作后计算最小编辑距离

d[i - 1, j] + 1 表示对source[i]执行删除操作后计算最小编辑距离

d[i - 1, j - 1] + 1表示对source[i]替换成target[i]操作后计算最小编辑距离

 

d[i, j]的边界值就是当target为空字符串（m = 0）或source为空字符串（n = 0）时所计算出的编辑距离：

 

m = 0，对于所有 i：d[i, 0] = i

n = 0，对于所有 j：d[0, j] = j