模运算与同余公式的性质

所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数。d数学上的称谓为模。如a=6,b=1,d=5,则我们说a和b是模d同余的。因为他们都有相同的余数1。

数学上的记法为：

a≡ b(mod d)

可以看出当n<d的时候,所有的n都对d同商,比如时钟上的小时数,都小于12,所以小时数都是模12的同商.

对于同余有三种说法都是等价的,分别为:

(1) a和b是模d同余的.

(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .

(3) d整除a-b.

可以通过换算得出上面三个说法都是正确而且是等价的.

基本定律：

同余公式也有许多我们常见的定律,比如相等律,结合律,交换律,传递律….如下面的表示:

1)a≡a(mod d)

2)对称性 a≡b(mod d)→b≡a(mod d)

3)传递性 (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则

4)a+b≡x+m （mod d）

5)a-b≡x-m (mod d)

6)a*b≡x*m (mod d )

7)a/b≡x/m （mod d）

8）a≡b（mod d）则a-b整除d

9）a≡b（mod d）则a^n≡b^n(mod d)

10)如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m）

模运算的运算规则：

(a + b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p （1）

(a - b) mod p = (a mod p - b mod p) mod p （2）

(a * b) mod p = (a mod p * b mod p) mod p （3）

a^b mod p = ((a mod p)^b) mod p （4）

结合率： ((a+b) mod p + c) mod p = (a + (b+c) mod p) mod p （5）

((a*b) mod p * c) mod p = (a * (b*c) mod p) mod p （6）

交换率： (a + b) mod p = (b+a) mod p （7）

(a * b) mod p = (b * a) mod p （8）

分配率： ((a +b) mod p * c) mod p = ((a * c) mod p + (b * c) mod p) mod p （9）

重要定理：若a≡b ( mod p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) ( mod p)；（10）

若a≡b ( mod p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) ( mod p)；（11）

若a≡b ( mod p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc ( mod p)； （13）

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