HOJ 13101 The Triangle Division of the Convex Polygon（数论求卡特兰数（模不为素数））

The Triangle Division of the Convex Polygon

题意：求 n 凸多边形可以有多少种方法分解成不相交的三角形，最后值模 m。

思路：卡特兰数的例子，只是模 m 让人头疼，因为 m 不一定是素数，所以不一定存在逆元。

　　　　解法：式子为f(n) = ( C( 2*(n-2), (n-2) ) / (n-1)) % m ；令 p = n-2， 式子可化为：f(p) = （(2*p)! / ( p! * (p+1)! ) ） % m;

　　　　　　对 s！分解质因素，统计个数。设小于等于 s 的素数为 p1, p2, p3, ... , pk;

　　　　　　则各个素因子个数为 ：

　　for i = 1 to k
　　 q  = s
　　 num(i) = 0
　　 while q > 0
　　  q = q / pi
　　    num(i) += q
　　end while
　　end for

　　　　　　所以，我们就可以统计出 f(p) 的素因子及个数，分子 + ， 分母 - 。最后计算时用快速幂。

代码：

#include <climits>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <cstdarg>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <sstream>
#include <exception>
#include <stdexcept>
#include <memory>
#include <locale>
#include <bitset>
#include <deque>
#include <list>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iterator>
#include <functional>
#include <string>
#include <complex>
#include <valarray>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e6+7;

bool tag
;
int p[N>>3];
int t;

void prime() {
t = 0;
memset(tag, 0, sizeof tag);
p[t++] = 2, tag[4] = 0;
for(int i = 3; i < N; i += 2) {
if(!tag[i]) p[t++] = i;
for(int j = 0, k; j < t && (k = i * p[j]) < N; ++j) {
tag[k] = 1;
if(i % p[j] == 0) break;
}
}
return ;
}

int n;
ll m, ans;

int zp[N>>3], mp[N>>3];
int tz, tp;

int Factor(int q[], int u) {   //分解 n!
int i;
for( i = 0; i < t && p[i] <= u; ++i) {
int v = u;
while(v) {
v /= p[i];
q[i] += v;
}
}
return i;
}

void cat(int n) {
int nn = n + n;
tz = tp = 0;
memset(zp, 0, sizeof zp);
memset(mp, 0, sizeof mp);

tz = Factor(zp, nn);
tp = Factor(mp, n);
tp = Factor(mp, n+1);

for(int i = 0; i < tp; ++i) zp[i] -= mp[i];

return ;
}

ll mult_mod(int a, int b, ll m) {
ll res = 1LL, tt = (ll) a;
while(b) {
if(b&1) res = (res * tt) % m;
tt = tt * tt % m;
b >>= 1;
}
return res;
}

void solve() {
n -= 2;
cat(n);
ans = 1LL;
for(int i = 0; i < tz; ++i) {
ans = (ans * mult_mod(p[i], zp[i], m)) % m;
}
printf("%I64d\n", ans);
}

int main()
{
#ifdef PIT
freopen("c.in", "r", stdin);
#endif // PIT
prime();
while (~scanf("%d %I64d", &n, &m)) {
solve();
}

return 0;
}