图论中 [ 最小边覆盖/最小路径覆盖/最小顶点覆盖/最大独立集/最大团 ] 的概念与性质

基础概念：

点的概念

a.点覆盖集：无向图G的一个点集，使得该图中所有边都至少有一点端点在该集合内。

b.点独立集：无向图G的一个点集，使得任两个在该集合中的点在原图中不相邻。

最大独立集：点独立集中元素个数最大的独立集，那么此独立集元素个数k就是这个图的最大独立数。

c.最小点覆盖集：无向图G中点数最少的点覆盖集

d.最大点独立集：无向图G中，点数最多的点独立集

e.最小点权覆盖集：带点权的无向图中，点权之和最小的点覆盖集

f.最大点权独立集：实在带点权无向图中，点权之和最大的点独立集

g.无向图的最大团： 从V个顶点选出k个顶，使得这k个顶构成一个完全图，即该子图任意两个顶都有直接的边。

h.最小顶点覆盖：用最少的点（左右两边集合的点）让每条边都至少和其中一个点关联。

边的概念：

a.边覆盖集：就是G中所有的顶点都是E*中某条边的邻接顶点（边覆盖顶点），一条边只能覆盖2个顶点。

注意：在无向图中存在用尽量少的边去“覆盖”住所有的顶点，所以边覆盖集有极小与最小的区别。

b.极小边覆盖：若边覆盖E*中的任何真子集都不是边覆盖集，则称E*是极小边覆盖集。

c.最小边覆盖：边数最小的边覆盖称为最小边覆盖，通俗地讲，就是极小边覆盖中的最小的一个集合。

最小边覆盖 = 最大独立集 = n - 最大匹配，这个是二分图上的一个性质。

d.最小路径覆盖(原图不一定是二分图，但必须是有向图，拆点构造二分图)：在图中找一些路径，使之覆盖了图中的所有顶点，且
任何一个顶点有且只有一条路径与之关联。最小路径覆盖 = |V| - 最大匹配数

最小路径覆盖和最小边覆盖的不同：

不要求给的图是二分图，而是要求是N x N的有向图，不能有环，然后根据原图构造二分图，构造方法是将点一分为二，如，i分为i1和i2然后如果i和j有边，那么就在i1和j2之间连一条边。由此构成二分图

然后最小路径覆盖 = n-m，n为原图的点的个数，m为新造二分图的最大匹配。证明也是特别简单的，根据定义最小路径覆盖里要求同一个点只可以属于一条路径，即路径时不可以开叉的，如果在二分图里选两条有公共点的边那么反应在原图上就是路径有岔路了，所以二分图里选的边必须是无公共交点的，这就是转化到最大匹配了。

二分图中的性质：

最大团 = 补图的最大独立集

最小边覆盖 = 二分图最大独立集 = |V| - 最小路径覆盖

最小路径覆盖 = |V| - 最大匹配数

最小顶点覆盖 = 最大匹配数

最小顶点覆盖 + 最大独立数 = |V|

最小割 = 最小点权覆盖集 = 点权和 - 最大点权独立集