约瑟夫环算法研究

今天在CSDN论坛上看到这个问题：

500个小孩围成一圈，从第一个开始报数：1，2，3，1,2,3,1,2,3,……每次报3的小孩退出

问最后剩下的那个小孩，在以前500人里是第几个？？？

用LinkedList模拟报数和删除行为，算出最终结果是436。但是当总人数特别大时，此算法效率就非常低。

import java.util.*;
class Test{
public static void main(String[] args){
List<Integer> list = new LinkedList<Integer>();
for(int i = 1; i <= 500; i ++){
list.add(i);
}
int index = 2;//第一个报到3的小孩，索引是2
while(list.size()> 1){
list.remove(index);
index = index - 1;//移除该位元素后，下次需要从该位开始遍历，故减1
index = (index +3)%list.size();
}
System.out.println(list.get(0));

}
}

回帖里有人提及这是约瑟夫问题，于是百度了一下，找到一般性的问题描述：

已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列，求最后一个出列人的编号。

在写算法思路之前，先记录自己做题时走过的弯路：
先假设m,n均为正整数，m%n和(m-1)%n+1，这两个式子在大部分情况下是等效的，但是当m为n的倍数时，前一个式子的值是0，后一个式子的值是n。

下面讲此题思路：

题中第k人开始报1，则第(k+m-2)%n+1人报到m出列，接下来第(k+m-1)%n+1继续开始报1。一共n-1个数次序为：

(k+m-1)%n+1, (k+m)%n+1, (k+m+1)%n+1……(k+m-3)%n+1  ①

调整次序，使第一个数的次序仍为k：

k, k+1, k+2,……k-2 ②

可见问题转化成为n-1人时的约瑟夫环。假设此时最后一个出列的人的编号为f(n-1)，那么将它作一个逆向变换就可以得到n人约瑟夫环的解：

f(n) = [f(n-1)+m-1]%n+1

由于n是题设中的最大人数，将它换成其他变量以免混淆：

f(i) = [f(i-1)+m-1]%i+1

由于始终是第k人开始报1，那么当总人数为1时，f(1)=k。据此可写出迭代或递推算法。

以下是迭代算法：

public int fun(int n, int m, int k){
int result = k;//当总人数为1时，
for(int i = 2; i <= n; i++){
result = (result + m - 1) % i + 1;
}
return result;
}