编程之美1.4——买书问题

一，问题

      上柜的《哈利波特》平装本系列，一共有五卷。假设每一卷单独销售均需8欧元。如果读者一次购买不同的两卷，就可以扣除5%的费用，三卷则更多。假设具体折扣的情况如下：

        本数    2       折扣   5%

        本数    3       折扣  10%

        本数    4       折扣  20%

        本数    5       折扣  25% 

问题：设计出算法，能够计算出读者所购买的一批书的最低价格。

 

二，问题分析：

       优化问题就用动态规划、贪心算法、分支限界轮番狂轰乱炸！！直到找到最优解！！

 贪心策略

  当书的数目N<5时，直接按照折扣购买

  当书的数目N>5时，情况如下：

依此可以穷举出每一种组合的情况，对于任意一种情况(i,j,k,m,n)进行分析

先找出是所有书中5种不同的书，如果有则按照5本书折扣价购买

其次找出剩余书中所有4种书，如果有则按照4本书的折扣价购买

再找出剩余书中所有3种书，如果有则按照3本书的折扣价购买 

最后在剩余书中找出所有2种书，如果有则按照2本书的折扣价购买

剩下的书则按照全价购买。

 

       如果按照这种方法（贪心法）存在反例，比如买8本书时，可以拆成5+3，折扣为1.55；也可以拆成4+4，折扣为1.6 这种两种情况组合中都包括，通过选择一个折扣最低的可以排除掉第一种情况。

       结论：贪心策略不可取

 

动态规划

         要用动态规划解答首先要找到，动态规划的递归公式，因为动态规划是自顶向下层层递归，然后自底向下层层解答！最后根据底层结论求解最后结果。

        五卷书的价格相同都是8欧元，所以购买（1，0，0，0，0）跟（0，1，0，0，0）效果一样。这里就可以简化为，让所购买书按照本书递增（递减），从而方便讨论。

         要处理的参数为购买每种卷的个数，所以递归一定跟这五个参数相关。可以把参数按照从小到大顺序排列。讨论不为0的参数的个数，从而求出所有可能的折扣种类。然后从当前折扣种类中取价格最小值。

        （X1,X2,X3,X4,X5）代表购买每卷的个数，F（X1，X2，X3，X4，X5）代表最低价格。X1 < X2 < X3 < X4 < X5

                            F（X1，X2，X3，X4，X5）=0  ；当所有参数都为0的情况（这也是退出递归的出口）

                             F（X1，X2，X3，X4，X5）= min{

                                                                             5*8*(1-25%) +F（X1-1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1） //参数全部  > 0

                                                                             4*8*(1-20%) +F（X1，X2-1，X3-1，X4-1，X5-1）    //x2 > 0

                                                                             3*8*(1-10%) +F（X1，X2，X3-1，X4-1，X5-1）        //x3 > 0

                                                                             2*8*(1-5%) +F（X1，X2，X3，X4-1，X5-1）             //x4 > 0

                                                                             8 +F（X1，X2，X3，X4，X5-1）                                  //x5 > 0

                                                                             }

 

三，动态规划源码：

#include <iostream>

#include <cstdlib>

#include <cstdio>

using namespace std;

const int larg = 100000;//定义一个最大值，相当于取最小值时忽略这个位置的值

template <typename T>

void rerank(T  m[],int length)//冒泡排序

 {            

            for (int i = length-1; i >0; i--)

            {

                for (int j = 0; j < i; j++)

                {

                    if (m[j]>m[j +1])

                    {

                        T temp;

                        temp = m[j + 1];

                        m[j + 1] = m[j];

                        m[j] = temp;

                    }

                }

            }

 }

 double Min(double a, double b, double c, double d, double e)//返回最小值

 {

            double nn[5]={a,b,c,d,e};           

            rerank(nn,5);

            

            return nn[0];

 }

    

double find_BestSol(int x1, int x2, int x3, int x4, int x5)//动态规划（递归实现）

{

            int n[5] ={ x1, x2, x3, x4, x5 };

            rerank(n,5);//对n进行从小到大排序

            x1 = n[0];

            x2 = n[1];

            x3 = n[2];

            x4 = n[3];

            x5 = n[4];

            /* x1 < x2 < x3 < x4  < x5*/

            if (n[0] > 0)//最小的都大于0；则所有卷数都大于0；然后将所有可能折扣罗列出来，返回最小值

            {

                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),

                                       2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),

                                       3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),

                                       4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),

                                       5 * 8 * 0.75 + find_BestSol(x1 - 1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1));

            }

            else if ((n[0] == 0) && (n[1] > 0))

            {

                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),

                                    2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),

                                    3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),

                                    4 * 8 * 0.8 + find_BestSol(x1, x2 - 1, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1), larg);

            }

            else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] > 0))

            {

                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),

                                    2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),

                                    3 * 8 * 0.9 + find_BestSol(x1, x2, x3 - 1, x4 - 1, x5 - 1),

                                    larg, larg);

            }

            else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] > 0))

            {

                return Min(8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1),

                                    2 * 8 * 0.95 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4 - 1, x5 - 1),

                                    larg, larg, larg);

            }

            else if ((n[0] == 0) && (n[1] == 0) && (n[2] == 0) && (n[3] == 0) && (n[4] > 0))

            {

                return 8.0 + find_BestSol(x1, x2, x3, x4, x5 - 1);

            }

            else//都为0

            {

                return 0;

            }

        }

  

int  main()

{

       //int n1[5] = {3,4,2,1,0};

       int n1[5] = {2,2,2,1,1};

       double solution = find_BestSol(n1[0],n1[1],n1[2],n1[3],n1[4]);

       cout<<"所花费的最少的钱为："<<solution<<endl;  

}