多元函数求极值问题

今天来讨论多元函数求极值问题，在Logistic回归用牛顿迭代法求参数会用到，所以很有必要把它研究清楚。



回想一下，一元函数求极值问题我们是怎样做的？比如对于凹函数

，先求一阶导数，得

，

由于极值处导数一定为零，但是导数等于零的点不一定就有极值，比如

。所以还需要进一步判断，对

函数继续求二阶导得到

，因为在驻点

处二阶导数

成立，所以


在

处取得极小值，二阶导数在这里的意义就是判断函数局部的凹凸性。



在多元函数中求极值的方法类似，只是在判断凹凸性这里引入了一个矩阵，叫做Hessian矩阵。



如果实值多元函数

在定义域内二阶连续可导，那么我们求它的极值，首先对所有

求偏导，即

得到

个方程如下








通过这

个方程可以解得驻点

，这个驻点是一个长度为

的一维向量。但是我们仅仅得到这个驻点，其实在这

个驻点有3种情况，分别是：局部极大值，局部极小值和非极值。



所以接下来要做的事就是判断这个驻点

属于这3个中的哪一个。所以就引入了Hessian矩阵，也就是说它用来

判断在多元函数的凹凸性问题。



Hessian矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率，常用于牛顿迭代法解决优化问题。

例如对于上面的多元函数

，如果它的二阶偏导数都存在，那么Hessian矩阵如下








如果函数

在定义域内二阶连续可导，那么

的Hessian矩阵

在定义域内为对称矩阵，因为如果函数

连

续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即








有了Hessian矩阵，我们就可以判断上述极值的3种情况了，结论如下



（1）如果

是正定矩阵，则临界点

处是一个局部极小值

（2）如果

是负定矩阵，则临界点

处是一个局部极大值

（3）如果

是不定矩阵，则临界点

处不是极值



接下来继续学习如何判断一个矩阵是否是正定的，负定的，还是不定的。



一个最常用的方法就是顺序主子式。实对称矩阵

为正定矩阵的充要条件是

的各顺序主子式都大于零。



由于这个方法涉及到行列式的计算，比较麻烦！ 对于实二次型矩阵还有一个方法，描述如下



实二次型矩阵

为正定二次型的充要条件是

的矩阵

的特征值全大于零。为负定二次型的充要条

件是

的矩阵

的特征值全小于零，否则是不定的。