【二维偏序】【树状数组】【权值分块】【分块】poj2352 Stars

经典问题：二维偏序。给定平面中的n个点，求每个点左下方的点的个数。

因为 所有点已经以y为第一关键字，x为第二关键字排好序，所以我们按读入顺序处理，仅仅需要计算x坐标小于<=某个点的点有多少个就行。

这就是所说的：n维偏序，一维排序，二维树状数组，三维 分治 Or 树状数组套平衡树……

<法一>树状数组。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
struct POINT
{
int x,y;
};
int n,d[3200001],ji[1500001],m;
POINT star[1500001];
bool cmp(const POINT &a,const POINT &b)
{
if(a.x<b.x)
return true;
else if(a.x>b.x)
return false;
else if(a.y<b.y)
return true;
return false;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void update(int x,int delta)
{
for(;x<=m;x+=lowbit(x))
d[x]+=delta;
}
int getsum(int x)
{
int res=0;
for(;x>0;x-=lowbit(x))
res+=d[x];
return res;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&star[i].x,&star[i].y);
star[i].y++;
m=max(m,star[i].y);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
update(star[i].y,1);
ji[getsum(star[i].y)-1]++;
}
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d\n",ji[i]);
return 0;
}

<法二>权值分块。我会说比树状数组还快将近一倍？

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,x[15001],y[15001],LIMIT,r[200],l[200],num[33000],sumv[200],sz,sum,rank[33000],b[33000];
void makeblock()
{
sz=(int)sqrt((double)LIMIT); if(!sz) sz=1; r[0]=-1;
for(sum=1;sum*sz<LIMIT;sum++)
{
l[sum]=r[sum-1]+1;
r[sum]=sum*sz;
for(int i=l[sum];i<=r[sum];i++) num[i]=sum;
}
l[sum]=r[sum-1]+1;
r[sum]=LIMIT;
for(int i=l[sum];i<=r[sum];i++) num[i]=sum;
}
int query(const int &V)
{
int cnt=0;
for(int i=1;i<num[V];i++) cnt+=sumv[i];
for(int i=l[num[V]];i<=V;i++) cnt+=b[i];
++b[V]; ++sumv[num[V]];
return cnt;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
LIMIT=max(LIMIT,x[i]);
} makeblock();
for(int i=1;i<=n;i++) ++rank[query(x[i])];
for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",rank[i]);
return 0;
}

<法三>再介绍一种方便扩展到三维的方法。我们不用按x或者y单调插入。

我们发现，二维偏序实际上是二维树状数组的经典操作。

但是二维BIT的空间复杂度无法接受。

但是我们发现，将一维离散化之后，使其按权值单调，树状数组套平衡树 可以轻松查询 x、y同时小于等于一个点的点的个数。 空间复杂度O(n*log(n)) 时间复杂度O(n*log^2(n))。

然后我们又发现，这同样也是分块的经典操作。 空间复杂度O(n) 时间复杂度O(n*sqrt(n*log(n)))。 注意分块的时候，我们为了保证块的形态，要先按一维sort，然后每sqrt(n*log(n))个点分成一块，不能按权值分块。

分块姿势①

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
vector<int>b[200];
struct Point{int x,y,num;}p[33000];
vector<Point>a[200];
int n,R,L,sum,l[200],r[200],sz,rank[33000];
void makeblock()
{
sz=(int)sqrt((double)n*(log((double)n)/log(2.0))); if(!sz) sz=1;
for(sum=1;sum*sz<n;sum++)
{
int R=sum*sz;
for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=R;i++) p[i].num=sum;
}
for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=n;i++) p[i].num=sum;
}
void update(const Point &U)
{
b[U.num].insert(upper_bound(b[U.num].begin(),b[U.num].end(),U.x),U.x);
a[U.num].push_back(U);
}
int query(const Point &U)
{
int cnt=0;
for(int i=1;i<U.num;++i) cnt+=upper_bound(b[i].begin(),b[i].end(),U.x)-b[i].begin();
for(vector<Point>::iterator it=a[U.num].begin();it!=a[U.num].end();++it)
if((*it).x<=U.x&&(*it).y<=U.y) ++cnt;
return cnt;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
makeblock();
for(int i=1;i<=n;i++) update(p[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) ++rank[query(p[i])-1];
for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",rank[i]);
return 0;
}

分块姿势②

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
vector<int>b[200];
struct Point{int x,y,num;}p[33000];
vector<Point>a[200];
int n,R,L,l[200],r[200],rank[33000];
void makeblock()
{
int sum,sz=(int)sqrt((double)n*(log((double)n)/log(2.0))); if(!sz) sz=1;
for(sum=1;sum*sz<n;sum++)
{
int R=sum*sz;
for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=R;i++)
{
p[i].num=sum;
b[sum].push_back(p[i].x);
a[sum].push_back(p[i]);
}
sort(b[sum].begin(),b[sum].end());
}
for(int i=(sum-1)*sz+1;i<=n;i++)
{
p[i].num=sum;
b[sum].push_back(p[i].x);
a[sum].push_back(p[i]);
}
sort(b[sum].begin(),b[sum].end());
}
int query(const Point &U)
{
int cnt=0;
for(int i=1;i<U.num;++i) cnt+=upper_bound(b[i].begin(),b[i].end(),U.x)-b[i].begin();
for(vector<Point>::iterator it=a[U.num].begin();it!=a[U.num].end();++it)
if((*it).x<=U.x&&(*it).y<=U.y) ++cnt;
return cnt;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
makeblock();
for(int i=1;i<=n;i++) ++rank[query(p[i])-1];
for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",rank[i]);
return 0;
}