HDU 4944 FSF’s game(计数游戏)

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4944

题意：

给定一个长度n, 用长度为 a,b 的边组成一个矩形 （1<=a<=b<=n） 我们可以将其组成n(n+1)/2个不同的矩形，

对于每一个矩形 我们可以得到一个val  val=sigma(a*b/gcd(a/k,b/k)) 其中k为a,b的公因子，求这个val;

分析：

我们定义一个函数calu(i,j)   calu(i,j)的意思是sigma{(i*j/gcd(i/k,j/k))},

则ans=sigma {calu(i,j)}(1<=i<=j<=n);

我们设dp
表示最大的边长为n的边所得到的val,

那么dp
=dp[n-1]+sigma{ calu(i,n) }(1<=i<=n)

然后我们需要解决的问题就是求sigma{ calu(i,n) }(1<=i<=n)；

我们先讨论calu(i,n)=n*(i/c1+i/c2+...)，其中cj为n和i的最大公约数d的所有因子。

那么我们可以枚举所有n的因子j，对于因子j，存在这个因子且小于等于n的数字中有j,2*j,3*j,...,n。

我们可以得到s[j]=(1+2+3+...n/j)*n=(n/j+1)*(n/j)/2*n。

那么val
=sigma{fun(i,n)}(1<=i<=n)=sigma{s[j]} (j为n的因子)。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod = (LL)1<<32;
const int maxn = 500010;

LL cnt[maxn],dp[maxn];

void init()
{
memset(cnt,0,sizeof(cnt));
for(LL i=1;i<maxn;i++){//枚举因子
for(LL j=i;j<maxn;j+=i)//统计因子的个数的和
cnt[j]+=(j/i+1)*(j/i)/2;
}
}

void solve()
{
dp[1]=1;
for(int i=2;i<maxn;i++){
dp[i]=(dp[i-1]+i*cnt[i])%mod;
}
}
int main()
{
int t,n,cas=1;
init();
solve();
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
printf("Case #%d: %I64d\n",cas++,dp
);
}
return 0;
}