经典算法大全之费式数列

背景说明

Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的着作中曾经提到:「若有一只免子每个月生一只小免子,一个月后小免子也开始生产。起初
只有一只免子,一个月后就有两只免子,二个月后有三只免子,三个月后有五只免子(小免子投入生产)......。如果不太理解这个例子的
话,举个图就知道了,注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产,类似的道理也可以用于植物的生长,这就是Fibonacci数列,一般
习惯称之为费氏数列,例如以下: 1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89......

算法说明

仔细观察这个数列，会发现，除了第1个数和第2个数除外，从第3个数开始，第N个数等于它前面两个数之和，也就是这个数列的通项公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2,n∈正整数)。

解法

这道题，就像是我们高中时的数学题，就是给一个背景，然后算第N项或者前N项和。我们一般的步骤都是先找数列的关系，然后推导出它的通项公式，在求解。而费氏数列的通项公式就是如下：
① f(n)=n,(n<=1,n∈正整数)
② f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2,n∈正整数)
所以，根据这个通项公式，我们就可以求解了。

public class 费式数列 {

/**
* @author Helen
* Nov 21, 2014 10:30:46 AM
* @param args
* void
* TODO
*/
public static void main(String[] args) {
int n;
Scanner input=new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入N:");
n=input.nextInt();
input.close();
long t=System.currentTimeMillis();
cal(n);
System.out.println();
System.out.println("cal耗时:"+(System.currentTimeMillis()-t));
t=System.currentTimeMillis();
for (int i = 1; i < n; i++) {
System.out.print(cal2(i)+",");
}
System.out.println();
System.out.println("cal2耗时:"+(System.currentTimeMillis()-t));
}

public static void cal(int n){
int[] Fib=new int
;
//f(n)=n,if n=0,n=1
Fib[0]=0;
Fib[1]=1;
//f(n)=f(n-1)+f(n-2),if n>=2
for (int i = 2; i < Fib.length; i++) {
Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];
}
for (int i : Fib) {
System.out.print(i+",");
}
}
/**
*
* @author Helen
* Nov 21, 2014 11:13:56 AM
* @param n
* @return
* int
* TODO 递归(耗时)
*/
public static int cal2(int n){
if(n==0||n==1){
return n;
}else{
return cal2(n-1)+cal2(n-2);
}
}
}

第一种是常规算法，每次都将计算后的数保存到一个数组里面，这样在计算第N个数的时候就可以从数组里直接取出第N-1和第N-2的数了；第二种递归算法是比较耗时的，可以看出第二种每次计算第N个数时，它都要从第0(或1)个开始算起。