数字信号的频谱与数字信道的特性

2.2 数字信号的频谱与数字信道的特性

2.2.1 傅立叶分析

任何周期信号都是有一个基波信号和各种高次谐波信号合成的。根据傅立叶分析法，可以把一个周期为 的复杂函数 表示为无限个正弦和余弦函数之和：

其中 是常数，代表直流分量，且 ， 为基频， 、 分别是 次谐波振幅的正弦和余弦分量：

2.2.2 周期矩形脉冲信号的频谱

频谱指组成周期信号各次谐波的振幅按频率的分布图。这种频谱图以 为横坐标，相应的各种谐波分量的振幅为纵坐标，如图2.9所示。图中，谐波的最高频率 与最低频率 之差 称作信号的频带宽度，简称带宽，它表示实际信道所能传输信号的频率范围。信道带宽由传输媒体和有关附加设备以及电路的频率特性综合决定。

图2.9 信号的频谱图
周期性矩形脉冲如图2.10（a）所示，其幅值为A，脉冲宽度为 ，周期为T，对称于纵轴。这是一种最简单的周期函数，实际数据传输中的脉冲信号要复杂的多，但对这种简单周期函数的分析，可以得出信道带宽的一个重要结论。

图2.10 周期性脉冲及其频谱
上述周期矩形脉冲的傅立叶级数中只含有直流和余弦项，令 ，我们有

令 ，则上式可写成

由上式可得周期矩形脉冲的频谱如图2.10（b）所示。图中横轴用 表示，纵轴用归一化幅度 表示（ ， ），谱线的包络为 ，当 时，其值趋于0。由图可知，谐波分量的频率越高，其幅值越小。可以认为信号的绝大部分能量集中在第一个零点的左侧，由于第一个零点处于 ，因而有 ，亦即 。若取 ，则有 。定义周期性矩形脉冲信号的带宽为：

可见信号的带宽与脉冲的宽度成反比，与之相关的结论是传送的脉冲的频率越高（即脉冲越窄），要求信道的带宽也越大。信道的带宽指信道频率响应曲线上幅度取其频带中心处值的1/ 倍的两个频率之间的区间宽度，如图2.11所示。为了使信号在传输中的失真小些，则信道要有足够的带宽。

图2.11 信道带宽

2.2.3 数字信道的特性

一个数字脉冲称为一个码元。如字母A的ASCII码是1000001，可用7个脉冲来表示，亦可认为由7个码元组成。码元携带的信息量由码元取的离散值个数决定。若码元取0和1两个离散值，则一个码元携带1比特（bit）的信息。若码元可取4个离散值，则一个码元携带2比特信息。一般的，一个码元携带的信息量n（比特）与码元取的离散值个数N具有如下关系：

下面用码元和信息量的概念说明数字信道的基本情况。

1. 波特率、数据速率和信道容量

码元速率表示单位时间内信号波形的变换次数，即通过信道传输的码元个数。若信号码元宽度为T秒，则码元速率B=1/T，单位叫波特，这是为了纪念电报码的发明者法国人波特（Baudot），故码元速率也称为波特率，或称作调制速率、波形速率、符号速率。1924年奈奎斯特推导出有限带宽无噪声信道的极限波特率，称为奈氏定理。若信道带宽为W，则奈氏定理的最大码元速率为：
B=2W （Baud）
奈氏定理指定的信道容量也称为奈氏极限，它由信道的物理特性决定。超过奈氏极限传送脉冲信号是不可能的。因此要进一步提高波特率，就必须改善信道的带宽。
数据速率指单位时间内信道上传送的信息量（比特数）。数字信道的通频带（即带宽）决定了信道中能不失真的传输脉冲序列的最高速率，即信道容量。在一定波特率下提高数据速率的途径是用一个码元表示更多的比特数。若把两比特编码为一码元，则数据速率可成倍提高，我们有公式：
（bps）
式中R表示数据速率，B、N、W的含义如上所述，单位为每秒比特（bits per second），记为bps或b/s。
数据速率“比特/秒”与码元的传输速率“波特”是两个不同的概念。两者在数量上有上述公式所描述的关系。若1个码元只携带1bit的信息量，则两者在数值上是相等的。即 。但若使1个码元携带 bit的信息量，则 Baud的码元传输速率为 bps。例如，有一个带宽为3kHz的理想低通信道，其码元传输速率为6000baud。而最高数据速率可随编码方式的不同而有不同的取值。若1个码元能携带2bit的信息量，则最高的数据速率为12000bps。这些都是不考虑噪声的理想情况下的极限值。至于有噪声影响的实际信道，则远远达不到这个极限值。

2. 误码率

香农（shnnon）提出有噪声信道的极限数据速率用下述公式计算

式中， 为信道带宽， 为信号的平均功率， 为噪声平均功率， 叫信噪比。实际使用中，与 的比值太大，故常取分贝数。例如当 =1000时，信噪比为30dB（分贝）。这个公式与信号取的离散值个数无关，也即无论用什么方式调制，只要给定了信号和噪声的平均功率，则单位时间内最大的信息传输量就确定了。例如，信道带宽为3000Hz，信噪比为30dB，则最大数据速率=3000 =3000×9.97≈30000bps。这是极限值，只有理论上的意义。实际上在3000Hz带宽的电话线上，数据速率能达到9600bps就很不错了。
在有噪声的信道中，数据速率的增加意味着传输中出错的概率增加，可用误码率来表示传输二进制时出现差错的概率：

式中 表示误码率， 表示出错位数， 为传送的总位数。计算机通信网络中，要求误码率低于10-6，即平均传送一百万位才允许错1位。当误码率高于一定数值时，可用差错控制进行检查和纠正。

3. 信道延迟

信号在信道中从源端到达宿端需要的时间即为信道延迟，它与信道的长度及信号传播速度有关。电信号一般已接近光速的速度（300m/µs）传播，但随介质的不同而略有差别。例如，电缆中的传播速度一般为光速的77%，即200m/µs左右。一般来说，考虑信号从源端到达宿端的时间是没有意义的，但对于一种具体的网络，我们经常对该网络中相距最远的两个站之间的传播时延感兴趣。这时要考虑信号传播速度即网络通信线路的最大长度。如500m铜轴电缆的时延大约是2.5µs，远离地面3.6万公里的卫星，上行和下行的时延均约270ms。

2.2.4 基带传输、频带传输和宽带传输

1. 基带传输

所谓基带指的是基本频带，也就是数据编码电信号所固有的频带，这种信号可称为基带信号。所谓基带传输就是对基带信号不加调制而直接在线路上进行传输，它将占用线路的全 部带宽，也可称为数字基带传输。后面将介绍数据可编码成数字信号进行传输的各种编码，就是基带信号的各种编码。但是不能认为数字信号只能进行基带传输，为了充分利用线路带宽，可对数字信号进行调制后再进行传输，即频带传输。

2. 频带传输

进行远距离数据传输时，一般要借用已有的通信网（如电话网）,而数据的原始形式是数字信号（基带信号）,它无法在带宽较窄的通信网中传输，需要将带宽很宽的数字信号（基带信号）变换为带宽符合通信网要求的模拟信号，而这种模拟信号通常由某一频率或某几个频率组成，它占用了一个固有频带，所以称为频带传输。

3. 宽带传输

宽带的概念来源于电话业，指的是比4KHz更宽的频带。宽带传输系统使用标准的有线电视技术，可使用的频带高达300MHz（常常到450MHz）。由于使用模拟信号，可以传输近 l00km,对信号的要求也没有像数字系统那样高。为了在模拟网上传输数字信号，需要在接 口处安放一个电子设备，用以把进入网络的比特流转换为模拟信号，并把网络输出的信号再 转换成比特流。根据使用的电子设备类型,1bps可能占用1Hz带宽。在更高的频率上，可以使用先进的调制技术达到多1bit/Hz