01背包问题

背包问题有0-1背包问题和fraction背包问题，前者规定每个物品要么选，要么不选，而fraction knanpsack允许选取一个物品的一部分，0-1背包问题是NP难的，而fraction knapsacks的复杂度是O(n*logn), 只需要将单位物品的价值按降序排列，利用贪心策略选取即可得到最优解。

给定一个背包，容量为C，有n个物品，重量为n维行向量w，价值为n维行向量v. |v|=|w|=n, n维向量y=[0,1,0….yn]代表物品的选法，其中的没有元素yi，要么是0、要么是1，为零代表选取第i个物品，为0表示不选取第i个物品。 目标函数是:Max(Sum(vi*yi)), 约束条件是sum(wi*yi) <=C, 其中 1=< i <=n.

背包问题具有最优子结构，令f(n,C)代表，有n个待选物品，背包容量为C时的最优解，此时物品选择向量为y=[y1,y2,…yn], 那么当yn=1时，y’=[y1, y2, …yn-1],必然为f(n-1, C-wn)的物品选择向量，当yn=0时，必然为f(n-1,C)的最优物品选择向量。所以背包问题可以由动态规划来求解。

根据上面的分析，我们可以得到如下的递归式:

当wn>C时， f(n,C)=f(n-1,C);

当wn<=C时，f(n，C) = max(f(n-1,C), vn+f(n-1, C-wn) );

初始条件为：f(i, 0) = 0; f(0,i) = 0; f(0,0) = 0;

根据上面的分析用递归实现的0-1背包代码如下：

1: /*
2: *
3: *时间：22012年4月10日19:46:27
4: *作者：JustinZhang
5: *Email:uestczhangchao@gmail.com
6: */
7:
8: #include <iostream>
9: #include <iomanip>
10: using namespace std;
11:
12: int w[]={1,3,4,5};//物品重量数组
13: int v[]={2,30,44,20};//物品价值数组
14: int C=5;//背包容量
15: int y[4]={-1,-1,-1,-1};//解向量,y[i]=1表示选取物品，y[i]=0表示不选取物品
16:
17:
18: int f(int n, int C)
19: {
20: if (n==0 || C==0)//当物品数量为0，或者背包容量为0时，最优解为0
21: {
22: return 0;
23: }
24: else
25: {
26: //从当前所剩物品的最后一个物品开始向前，逐个判断是否要添加到背包中
27: for (int i=n-1; i>=0;i++)
28: {
29: //如果当前要判断的物品重量大于背包当前所剩的容量，那么就不选择这个物品
30: //在这种情况的最优解为f(n-1,C)
31:
32: if (w[i]>C)
33: {
34: y[i]=0;
35: return f(n-1,C);
36: }
37: else
38: {
39: //如果当前待判断的物品重量wi<C,那么就选取f(n-1,C)和vi+f(n-1,C-wi)中的最大值
40: int tmp1 = f(n-1,C);//不选择物品i的情况下的最优解
41: int tmp2 = v[i] + f(n-1,C-w[i]);//选择物品i的情况下的最优解
42:
43: //返回选择物品i和不选择物品i中最优解大的一个
44: if (tmp1 > tmp2)
45: {
46: y[i]=0;//这种情况下表示物品i未被选取
47: return tmp1;
48: }
49: else
50: {
51: y[i]=1;//物品i被选取
52: return tmp2;
53: }
54:
55: }
56: }
57:
58: }
59:
60: }
61:
62:
63: int main()
64: {
65:
66: int maxvalue = f(4,5);
67: for (int i=0; i<4; i++)
68: {
69: if (y[i]==1)//为1表示相应的物品被选取
70: {
71: cout << "Object "<< i+1 << " is selected. " << "It's Vaule is " << setw(2)<< v[i] \
72: << " It's Weight is"<< setw(2)<<w[i] << endl;
73: }
74: }
75:
76: cout << "Maximum Value is: "<< maxvalue << endl;
77: return 0;
78: }
79:
80: