FZU2147 A-B Game（贪心）

题意

       输入A、B（B<A）。A每次可以进行一次变换：A = A - (A % x) ，其中1≤x≤A-1。问最少经过多少次变换，A的值小于等于B。

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分析

       如果A%x的最大值与A成正比，那么这就是一道贪心题，每步都取让A%x值为最大的x即可。即每一步都让A减去尽可能大的值是这道题的解题思路。

       现在分析A%x的性质，最优解x(让A减去的值最大)，其实就是比A的一半更大一点点的整数，即



       （以下我的证明方法仅供参考，关键是读者自己想明白其中的道理。）

       为什么呢？如下图中的彩色线段，我们把数A理解成长度为A的线段。比中点稍大的整数就是图中绿色的点，余数相当于绿点右边红色线段的长度，长度为

。

       如果取绿点右边的某个整数点y，则余数是点y至终点的线段长度，显然会比原来的短。

       如果取绿点左边的某个整数点z。那么有两种情况：

一种是中点存在，如图中的黄点，此时A%z为0，必然不是最优解。

另一种情况是z为中点左边的某个点(图中的灰点)，则必然有

 （想一想为什么），又

 ，所以

。



       再简单的分析，知公式中的

实际就是变化后A的值，故代码很简单：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main() {
int T;

scanf("%d", &T);

for (int kase = 1; kase <= T; kase++) {
printf("Case %d: ", kase);

LL a, b, cnt = 0;
cin >> a >> b;

while (a > b) {
a = a/2 + 1;
cnt++;
}

printf("%d\n", cnt);
}
return 0;
}