强连通分量 Tarjan

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有向图强连通分量

在有向图G中，如果两个顶点间至少存在一条路径，称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。简称SCC

1、强连通图。在一个强连通图中，任意两个点都通过一定路径互相连通。比如图一是一个强连通图，而图二不是。因为没有一条路使得点4到达点1、2或3。



2、强连通分量。在一个非强连通图中极大的强连通子图就是该图的强连通分量。比如图三中子图{1,2,3,5}是一个强连通分量，子图{4}是一个强连通分量。



3.

下图中，子图{1,2,3,4}为一个强连通分量，因为顶点1,2,3,4两两可达。{5},{6}也分别是两个强连通分量。





直接根据定义，用双向遍历取交集的方法求强连通分量，时间复杂度为O(N^2+M)。更好的方法是Kosaraju算法或Tarjan算法，两者的时间复杂度都是O(N+M)。本文介绍的是Tarjan算法

Tarjan算法

其实，tarjan算法的基础是DFS。我们准备两个数组Low和Dfn。Low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的Dfn值（很绕嘴，往下看你就会明白），Dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。根据以下几条规则，经过搜索遍历该图（无需回溯）和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。

1、数组的初始化：当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。

2、堆栈：每搜索到一个点，将它压入栈顶。

3、当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。

4、当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。

就是

定义dfn(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号。由定义可以得出，

low(u)=Min
{
DFN(u),
Low(v),(u,v)为树枝边，u为v的父节点
DFN(v),(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
}

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

5、每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。这些出栈的元素组成一个强连通分量。

6、继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。

由于每个顶点只访问过一次，每条边也只访问过一次，我们就可以在O（n+m）的时间内求出有向图的强连通分量。但是，这么做的原因是什么呢？

Tarjan算法的操作原理如下：

1、Tarjan算法基于定理：在任何深度优先搜索中，同一强连通分量内的所有顶点均在同一棵深度优先搜索树中。也就是说，强连通分量一定是有向图的某个深搜树子树。

2、可以证明，当一个点既是强连通子图Ⅰ中的点，又是强连通子图Ⅱ中的点，则它是强连通子图Ⅰ∪Ⅱ中的点。

3、这样，我们用low值记录该点所在强连通子图对应的搜索子树的根节点的Dfn值。注意，该子树中的元素在栈中一定是相邻的，且根节点在栈中一定位于所有子树元素的最下方。

4、强连通分量是由若干个环组成的。所以，当有环形成时（也就是搜索的下一个点已在栈中），我们将这一条路径的low值统一，即这条路径上的点属于同一个强连通分量。

5、如果遍历完整个搜索树后某个点的dfn值等于low值，则它是该搜索子树的根。这时，它以上（包括它自己）一直到栈顶的所有元素组成一个强连通分量。

接下来是对算法流程的演示。

从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。





返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。





返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。节点6已经出栈，(4,6)是横叉边，返回3，(3,4)为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。





继续回到节点1，最后访问节点2。访问边(2,4)，4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。





至此，算法结束。经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。

可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

求有向图的强连通分量还有一个强有力的算法，为Kosaraju算法。Kosaraju是基于对有向图及其逆图两次DFS的方法，其时间复杂度也是O(N+M)。与Trajan算法相比，Kosaraju算法可能会稍微更直观一些。但是Tarjan只用对原图进行一次DFS，不用建立逆图，更简洁。在实际的测试中，Tarjan算法的运行效率也比Kosaraju算法高30%左右。此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量(割点、桥)的Tarjan算法也有着很深的联系。学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。

求有向图的强连通分量的Tarjan算法是以其发明者Robert Tarjan命名的。Robert Tarjan还发明了求双连通分量的Tarjan算法，以及求最近公共祖先的离线Tarjan算法，在此对Tarjan表示崇高的敬意。

模板1

1 #include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <stack>
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define min(a,b) (a>b?b:a)
using namespace std;

const int N=1001;
int time=1;
int low
,dfn
;
bool instack
;
stack<int>st;

struct LIST
{
int v;
LIST *next;
};
LIST *head
={NULL};

void tarjan(int v)/*tarjan求强连通分支*/
{
dfn[v]=low[v]=time++;/*标记点v的DFS遍历序号*/
st.push(v);/*将点v入栈*/
instack[v]=true;/*标记点v已经在栈中*/
for(LIST *p=head[v];p!=NULL;p=p->next)/*遍历V能直接到达的点*/
{
if(!dfn[p->v])/*如果v的邻接点没有入过栈*/
{
tarjan(p->v);
low[v]=min(low[v],low[p->v]);/*如果v能直接到达的这个点没在栈中,v的最早祖先为他们中的较小值*/
}
else if(instack[p->v])/*如果在栈中*/
low[v]=min(low[v],dfn[p->v]);/*如果在栈中，则v的最早祖先是他的序号和那个点的序号较小的*/
}
if(dfn[v]==low[v])/*如果dfn[v]和low[v]相等，则说明v点是其所属强连通分支DFS遍历起点，这个强连通分支所有点都在v点之上*/
{
cout<<"{ ";
do
{
v=st.top();
st.pop();
instack[v]=false;
cout<<v<<' ';
}while(dfn[v]!=low[v]);
cout<<"}"<<endl;
}
}

int main()
{
int i,j,n,m;
cin>>n;
while(!st.empty())
st.pop();
memset(dfn,0,sizeof(dfn));
memset(instack,false,sizeof(instack));
for(i=0;i<=n;i++)
head[i]=NULL;
for(i=1;i<=n;i++)
{
cin>>m;//i的邻接点数量
//输入每个邻接点编号
LIST *rear=head[i];
for(j=0;j<m;j++)/*创建邻接表*/
{
if(!j)
{
rear=new LIST;
head[i]=rear;
}
else
{
rear->next=new LIST;
rear=rear->next;
}
rear->next=NULL;
cin>>rear->v;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])/*如果i没有入过栈*/
tarjan(i);
return 0;
}

模板2

void tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
instack[i]=true;
Stap[++Stop]=i;
for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
{
j=e->t;
if (!DFN[j])
{
tarjan(j);
if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j];
}
else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j];
}
if (DFN[i]==LOW[i])
{
Bcnt++;
do
{
j=Stap[Stop--];
instack[j]=false;
Belong[j]=Bcnt;
}
while (j!=i);
}
}
void solve()
{
int i;
Stop=Bcnt=Dindex=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
for (i=1;i<=N;i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);
}

精华的汇聚~~~~~~