01背包问题

近期在看动态规划，了解到理解动态规划思想比较容易的一个题就是01背包问题，动手写了下程序。

重要的是要理解动态规划的思想

找到的一些关于01背包问题的求解思想：

首先介绍一下动态规划...

设计一个动态规划算法，通常可按照以下几个步骤进行：

(1) 找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

(2) 递归地定义最优解的值

(3) 以自底而上的方式计算出最优值

(4) 根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

对于一个给定的问题，若具有以下两个性质，则可以考虑用动态规划法来求解。

(1) 最优子结构。如果一个问题的最优解中包含了其子问题的最优解，就说该问题具有最优子结构。当一个问题具有最优子结构时，提示我们动态规划法可能会适用，但是此时贪心策略可能也是适用的。

(2) 重叠子问题。指用来解原问题的递归算法可反复地解同样的子问题，而不是总在产生新的子问题。即当一个递归算法不断地调用同一个问题时，就说该问题包含重叠子问题。此时若用分治法递归求解，则每次遇到子问题都会视为新问题，会极大地降低算法的效率，而动态规划法总是充分利用重叠子问题，对于每个子问题仅计算一次，把解保存在一个在需要时就可以查看的表中，而每次查表的时间为常数。

问题：有n个物品，第i个物品价值为vi，重量为wi，其中vi和wi均为非负数，背包的容量为W，W为非负数。现需要考虑如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。该问题以形式化描述如下：

       目标函数为 ：


       约束条件为：


 满足约束条件的任一集合（x1，x2，...，xn）是问题的一个可行解，问题的目标是要求问题的一个最优解。考虑一个实例，假设n=5，W=17， 每个物品的价值和重量如表9-1所示。可将物品1，2和5装入背包，背包未满，获得价值22，此时问题解为你（1，1，0，0，1）。也可以将物品4和5装入背包，背包装满，获得价值24，此时解为（0，0，0，1，1）。



      下面根据动态规划的4个步骤求解该问题。

(1) 刻画0-1背包问题的最优解的结构。

      可以将背包问题的求解过程看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些物品不放入背包。如果一个问题的最优解包含了物品n，即xn=1，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W-wn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n，即xn=0，那么其余x1，x2，...，x(n-1)一定构成子问题1，2，...，n-1在容量W时的最优解。

(2)递归定义最优解的值

     根据上述分析的最优解的结构递归地定义问题最优解。设c[i,w]表示背包容量为w时，i个物品导致的最优解的总价值，得到下式。显然要求c[n,w]。



下面是写的程序：在设置物品的重量的价值时将数组下标为0的元素设置为了0，只是为了统一数组下标，也可不这么做，但是在后面这一步时，要注意下标需要减1。

程序如下

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>
int Total = 17;
int max(int i , int j){ return (i>j)?i:j;}

int main(){ int v[6] = {0,4,5,10,11,13}; int w[6] = {0,3,4,7,8,9}; int c[6][18] = {0};
int i,j; for(i = 0 ; i < 6 ; ++i) c[i][0] = 0; for(j = 0 ; j < 18 ; ++j) c[0][j] = 0;

for(i = 1 ; i < 6 ; ++i) for(j = 1 ; j <= Total ; ++j) { if(w[i] > j) c[i][j] = c[i-1][j]; else c[i][j] = max(c[i-1][j - w[i]] + v[i],c[i-1][j]); } for(i = 0 ; i < 6 ; ++i) { for(j = 0 ; j < 18 ; ++j) printf("%3d",c[i][j]); printf("\n"); }}

运行结果如下所示（输出数组）：