母函数 多项式相乘求系数(HDU 1028)

Problem Description

"Well, it seems the first problem is too easy. I will let you know how foolish you are later." feng5166 says.

"The second problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:

N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];

a[i]>0,1<=m<=N;

My question is how many different equations you can find for a given N.

For example, assume N is 4, we can find:

4 = 4;

4 = 3 + 1;

4 = 2 + 2;

4 = 2 + 1 + 1;

4 = 1 + 1 + 1 + 1;

so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

 

Input

The input contains several test cases. Each test case contains a positive integer N(1<=N<=120) which is mentioned above. The input is terminated by the end of file.

 

Output

For each test case, you have to output a line contains an integer P which indicate the different equations you have found.

 

Sample Input

41020

 

Sample Output

542627

 

 

 

生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，看到最多的是这样两句话：

1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

 

例子：

有1克、2克、3克、4克砝码各一枚，问能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

下面是用母函数解决这个问题的思路：

首先，我们用X表示砝码，X的指数表示砝码的重量。那么，如果用函数表示每个砝码可以称的重量，

1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示，

1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示，

依次类推。

如果我们把上面2个多项式相乘，可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘，得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

接着把它与X^0+X^4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

由于X的指数表示的是重量，所以，在相乘时，根据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是所有的方案。而且，每个X前面的系数代表它有几种方案。

需要注意的是，如果有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^2表示，而不是X^0 + 2*X^1。

 

母函数还可以解决其他问题，比如，整数划分。

整数划分是个很经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个，而是无限个。于是，

1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示，

3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

依次类推。

相乘后求出X^n的系数，就是结果。

 

总而言之，解决此类问题，只要模拟好2个多项式相乘就好了。

大概思路是开2个数组，coef[ ]保存当前得到的多项式各项系数，buffer[ ]保存每次计算时的临时结果，当每次计算完毕后，把它赋给coef，然后buffer清零。

计算的时候，开3层for循环。最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示coef中的每一项，第三层表示后面被乘多项式中的每一项。

 #include<stdio.h>

int coef[125]; //用来保存当前得到的多项式的各项系数
int buffer[125]; //用来保存每次计算时的临时结果
int n;

void inital()
{
for(int i=0;i<=120;i++)
{
coef[i] = 1;
buffer[i] = 0;
}

for(int i=2;i<=120;i++) //记录coef正在与第几个多项式进行运算
{

for(int j=0;j<=120;j++) //coef中的每一项前的系数
{

for(int k=0;k+j<=120;k+=i) //表示被乘多项式的每一项的系数
{
buffer[k+j] += coef[j];
}
}

for(int j=0;j<=120;j++)
{
coef[j] = buffer[j]; //每次计算完毕后，就把它赋给coef
buffer[j] = 0; //然后buffer清零
}
}
}

int main()
{
inital();
while(scanf("%d", &n)!=EOF)
{
printf("%d\n", coef
);

}
return 0;
}