[动态规划] 01背包与完全背包

01背包(每种物品的状态为选择或不选择，最多只能选1件）：
1.传统的二维数组，第i件物品的重量为w[i],价值为v[i]

dp[i][j]保存的是选择前i件物品（每一件物品的状态为选与不选），在背包容量为j的情况下，可以获得的最大价值

两种情况：

一.当前背包容量j<第i件的重量时，第i件背包肯定不能选，放不下去，有dp[i][j]=dp[i-1][j]

二.当前背包容量j>=第i件的重量时，第i件背包可以选，能放得下去，但因为要考虑到所获得最大价值，所以这时候有两种选择，选或不选，我们要在其中取最大值。状态转移方程为：
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-w[i]][j]）.dp[i-1][j]是第i件背包不选，dp[i-1][j-w[i]]是第i件背包选，注意dp[i-1][j-w[i]]在以前就已经算出来了，可以直接用，而且里面保存的一定是最优值。

关键代码：

for(int i=1;i<=N;i++)  

    for(int j=0;j<=V;j++)//千万要记得重量要从0开始，不是1  

   {  

       if(w[i]<=j)  

           dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+value[i]);  

       else  

           dp[i][j]=dp[i-1][j];  

    }  

总结：dp[i][j]是当前选择前i件物品（每一件物品的状态为选与不选），在背包容量为j的情况下所获得最大价值，也就是局部最优解，在进行循环的过程中，需要用到前面已经计算过的值，这就体现到了动态规划的思想。

2.优化后的使用一维数组,第i件物品的重量为w[i],价值为v[i]

dp[j]保存的是当前容量背包为j的情况下，所获得最大价值。

先来看关键代码：

for(int i=1;i<=N;i++)  

    for(int j=V;j>=w[i];j--)  

        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

外层循环是第i件物品，当内层循环j循环一遍后，dp[j]保存的也是选择前i件所获得的最大值。但是它并不是单纯的依赖于某一件物品了（因为一维数组，没有二维数组中的[i]，它是在前面所有状态中，dp[j]是最优的那一个。注意到内层循环j的值是从大到小的，为什么？ 从小到大会怎么样，假设在选择第i件物品时，j的值从小到大，那么算出的dp[w[i]] , dp[w[i]+1] ,dp[w[i]+2]。。。里面的下标也是从小到大的，但是注意状态转移方程dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);dp[j-w[i]]下标肯定比d[j]要小，也就是说在内层循环中，dp[j-w[i]]是肯定要被先算出来的，我们假设它的值是在第i件物品的状态为被选择时得出的，那么在算到dp[j]时，有一种情况，是
dp[j] <dp[j-w[i]]+v[i]，这意思是，第i件物品还得选，价值要求最大，但前面说的dp[j-w[i]]第i件物品已经被选择过了，再选的话这就不是01背包了（01背包要求每件物品只能选择一件),所以内层循环j的值不能从小到大，从大到小，保证了在外层循环固定为i的情况下，内层循环计算过程中，dp[j-w[i]]是后于dp[j]算出来的，这里dp[j-w[i]]是外层循环1到i-1时得出来的值，也就是前i-1件物品所得出的最优值。这样也就保证了，在内层循环中，第i件物品只能被选0次或1次，不能多选。

完全背包(每种物品可以选择无穷多件）：

通过前面01背包的第二种情况的解释，我们自然而然得可以写出其关键代码：

for(int i=1;i<=N;i++)  

    for(int j=w[i];j<=V;j++)  

        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);