迪杰斯特拉算法（dijkstra）——最短路径

迪杰斯特拉算法是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

1、定义

Dijkstra算法是典型的算法。Dijkstra算法是很有代表性的算法。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN,
CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权边。

2、原理

首先，引进一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前所找到的从始点v到每个终点vi的的长度：如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于长度。它的初始状态为：若从v到vi有弧，则D为弧上的权值；否则置D为∞。显然，长度为
D[j]=Min{D | vi∈V} 的路径就是从v出发的长度最短的一条。此路径为(v,vj)。 那么，下一条长度次短的是哪一条呢？假设该次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v,vk)，或者是(v,vj,vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的弧上的权值之和。 一般情况下，假设S为已求得的终点的集合，则可证明：下一条最短路径（设其终点为X）或者是弧(v,x)，或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点X的路径。因此，下一条长度次短的的长度必是D[j]=Min{D
| vi∈V-S} 其中，D或者是弧(v,vi)上的权值，或者是D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的权值之和。

算法描述如下：

1）arcs表示弧上的权值。若不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到从v出发的的终点的集合，初始状态为空集。那么，从v出发到图上其余各顶点vi可能达到的度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V

2）选择vj，使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。

3、问题描述

在无向图 G=(V,E)
中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短值。

4、算法思想

按路径长度递增次序产生算法：

把顶点集合V分成两组：

（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）

（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合

将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：

（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度

（2）每个顶点对应一个距离值

S中顶点：从V0到此顶点的长度

T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度

依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和

（反证法可证）

求最短路径步骤

算法步骤如下：

1. 初始时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值

若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值

若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∞

2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S

3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值

重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

执行动画过程如下图



5、算法代码实现

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];

int A[MAXUNM][MAXNUM];

void Dijkstra(int v0)
{
　　bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中
int n=MAXNUM;
　　for(int i=1; i<=n; ++i)
　　 {
　　dist[i] = A[v0][i];
　　S[i] = false;                                // 初始都未用过该点
　　if(dist[i] == MAXINT)
　　prev[i] = -1;
　　     else
　　prev[i] = v0;
　　}
　 dist[v0] = 0;
　 S[v0] = true; 　　
　　 for(int i=2; i<=n; i++)
　　 {
　　int mindist = MAXINT;
　　int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
　　 for(int j=1; j<=n; ++j)
　　    if((!S[j]) && dist[j]<mindist)
　　    {
　　       u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
　 　      mindist = dist[j];
　　   }
　　S[u] = true;
　　for(int j=1; j<=n; j++)
　　    if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT)
　　    {
　    　if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
　    　{
　　dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist
　　prev[j] = u;                    //记录前驱顶点
　　    }
　    　}
　　}
}