noip知识点总结之--欧几里得算法和扩展欧几里得算法

一、欧几里得算法

名字非常高大上的不一定难，比如欧几里得算法。。。其实就是求两个正整数a, b的最大公约数（即gcd），亦称辗转相除法

需要先知道一个定理：

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) (其中a mod b != 0) 或 b (其中a mod b == 0)

证明：

后半部分呢。。。是废话，于是只要证明前半部分即可。

不妨设g = gcd(a, b)，于是有 a = g * A, b = g * B 且 (A, B) = 1

故gcd(b, a mod b) = gcd(g * B, (g * A) mod (g * B)) = g * gcd(B, A mod B)

若gcd(B, A mod B) != 1，我们可以得到：

存在g' > 1，使g' | B且g' | A mod B，故g' | A， 与(A, B) = 1矛盾！

故gcd(B, A mod B) = 1，也即gcd(b, a mod b) = g * 1 = g = gcd(a, b)

证毕。。。（貌似搞烦了？）

于是就可以做了。。。时间复杂度是O(log(max(a, b)))

十分简单地code：（只有一行额。。。）

int extend_gcd(int a, int b, int &x, int & y){
if (!b){
x = 1, y = 0;
return a;
}
int res = extend_gcd(b, a % b, x, y), tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
return res;
}

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而求出的(x, y)有可能会大（小）的非常离谱，于是就需要进行调整。。。

不定方程的通解形式大家都会吧。。。

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求不定方程

（2）求模线性方程（线性同余方程）

（3）求模的逆元

作为noip的复习嘛。。。（1）就是本来的用处，（2）（3）应该不会考的说（奇怪的flag）