01背包问题

01背包问题：

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的占用容量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

思路：

背包问题，最终结果是要求将N个物品待选物品放入容量为V的背包能获得的最大值。

假设将一个物品放入容量为V的函数记为f1(v),那么动态规划的情况下：可以先求将1个待选物品放入容量为（0……V）的背包中获得的价值最大值，用函数表示就是求出f1(0)……f1(v)，再求将2个待选物品放入容量为（0……V）背包中获得价值的最大值f2(0)……f2(v)。…………最终求出将V个待选物品放入容量为（0……V）的背包中获得价值的最大值fv(0)……fv(v)。然后最后那个fv(v)就是将V个待选物品放入容量为V的背包中获得价值的最大值。

中心思想就是，当新纳入一个待选物品I时，这个待选物品有两种情况，放入或者不放入，

1.放入，则它的现在的情况就是：将这第i个物品放入容量为X（0……V）的背包中获得的价值，也就等同于将i-1个物品放入容量为X-c(i)的背包中获得的价值。

2.不放入，则它的现在的情况就是：将这前i-1个物品放入容量为X（0……V）的背包中获得的价值，

两种情况取其最大值，就是将前I个待选物品放入容量为X（0……V）的背包中获得的价值的最大值。表达式如下：

Fi(v)=max{fi-1(v), fi-1(v-c[i])+w[i] }

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O（N）。理由如下

可见，每次求新纳入一个待选物品时，总要根据上一次i-1的结果来求这一次的。所以，可以维持一个主循环I,用来求当纳入i个物品时，容量为X（0……V）的背包中获得价值最大值。

For i=1…N for v=V…0 f(v)=max{f(v), f(v-c[i])+w[i] }

而且更新f[v]数组时要小心，因为这一层的（i层）f[v]用到的是上一层（i-1层）的f[v-c[i]]，所以要倒着更新f数组。

初始条件：初始条件为放入0个物品时容量为X（0……V）的背包获得的最大价值，肯定为0啦。求每层的max时候，如果f(v-c[i])为负数，证明这个物品在当前容量下放不下，只能用上次循环的F（v）来更新这次的，即实际意义上的不放入这个物品了。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
int main(void)
{
int N,M;
cin>>N>>M;
int ** pNeedValue=new int *
;
for (int i=0;i<N;i++)
{
pNeedValue[i]=new int[2];
cin>>pNeedValue[i][0]>>pNeedValue[i][1];
}
int *maxvalueOfX=new int [M+1];
for (int i=0;i<M+1;i++)
{
maxvalueOfX[i]=0;
}

for (int k=0;k<N;k++)//前K个待选奖券放入容量为J的背包获得的最大值。
{
for (int j=M;j>=1;j--)
{
if (j-pNeedValue[k][0]>=0)
{
maxvalueOfX[j]=max(maxvalueOfX[j],maxvalueOfX[j-pNeedValue[k][0]]+pNeedValue[k][1]);
}
else
{
continue;
}
}
}
cout<<maxvalueOfX[M]<<endl;
}