杭电OJ（HDOJ）1097题：A hard puzzle（数论）

题意：

给定两个数a，b(0<a,b<=2^30)。输出a^b的最后一位数字（个位数）

示例输入：

7 66

8 880

示例输出：

9

6

解决方案：

假设a=38,b=2,那么结果应为(a*a)%10=(38*38)%10=[(38%10)*(38%10)]%10=4;

假设a=27,b=2,那么结果应为(a*a)%10=(27*27)%10=[(27%10)*(27%10)]%10=9;

.......

可以看出，(a^b)%10=(a*a*a......*a)%10=[(a%10)*(a%10)*(a%10)*.....(a%10)]%10;

那么就可以使用(b-1)次循环，求出(a^b)%10的结果，但这样时间复杂度就是O（b-1)，提交给OJ后，会提出超时的警告。

所以需要一个时间复杂度更低的程序。

正整数a不管多大，都是十进制数，所以a%10的结果必然是0-9中的一个数。

0^n=0，那么只要以0结尾的数，该数的n次方的个位数还是0。

1^n=1，那么只要以1结尾的数，该数的n次方的个位数还是1。

同样以5结尾的数也是如此。那其它的数字又不一样，最后得出下列这张表：



从红色的框中可以看出：0-9中任何一个数字，其n次方后的个位数是有规律的。每4次一个循环。所以只要先前列一个数组，将其

保存，就可以直接找到对应的数组元素就是其(a^b%10)的值，这样时间复杂度为0（1）；

源代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a,b,col,row;
    int result[4][10]=
    {
        {0,1,6,1,6,5,6,1,6,1},
        {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
        {0,1,4,9,6,5,6,9,4,1},
        {0,1,8,7,4,5,6,3,2,9}
    };
    while(cin>>a>>b)
    {
        row=b%4;
        col=a%10;

        cout<<result[row][col]<<endl;
    }
    return 0;
}