【学习笔记----数据结构10-二叉树】

二叉树

定义：二叉树（Binary Tree）是n(n 0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点

l 每个结点最多有两棵子树，所以二叉存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。

l 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

l 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

二叉树具有五种基本形态：

空二叉树；

l 只有一个根结点

l 根结点只有左子树

l 根结点只有右子树

l 根结点既有左子树又有右子树。

特殊二叉树

斜树：

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。两者统称为斜树。斜树的明显特点，就是每一层都只有一个结点，结点个数与二叉树的深度相同。（其实线性表的结构就可以理解为是树的一种极其特殊的表现形式。）

满二叉树：

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

特点：

1. 叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡

2. 非叶子结点的度一定是2.否则就是“缺胳膊少腿”

3. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

完全二叉树：

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1 i n)的结点与同样深度的的满二叉树编号为i的结点在二叉树中位置完全相同。则这棵二叉树称为完全二叉树。

“完全”和“满”的差异，满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。其次，完全二叉树的所有结点与同样深度的满二叉树，它们按层序编号相同的结点，是一一对应的。

特点：

l 叶子结点只能出现在最下两层

l 最下层的叶子一定集中在左部连续位置

l 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连位置

l 如果结点度为1，则该结点只有左孩子。

l 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二叉树的性质

性质1

在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i 1）

性质2

深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（K 1）

性质3

对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2,则n0
= n2+1

性质4

具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1([X]表示不大于x的最大整数)

性质5

如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点i有：

如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1则双亲结点是[i/2]

如果2i>n，则结点i无左孩子（结点为i的叶子结点）；否则其左孩子是结点2i

如果 2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

二叉树顺序存储结构

实际就是按层存储，（假设理想情况下每个结点都有左子树和右子树，即一个完全二叉树）



将这棵二叉树存入到数组中，相应的下标对应其同样的位置：



对于存储完全二叉树的存储还是挺有效的，如果要是对一般的二叉树做存储，比如用一个深度为k的右斜树，它只有k个结点，却需要分配2k-1个存储单元空间。

二叉链表

既然顺序存储适用性不强，我们就要考虑链式存储结构。二叉树每个结点最多有丙个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。

lchild

data

rchild

结构定义：

typedef struct BitNode

{

TElemType data;

struct BiTNode *lchild,*rchild;

}BitNode,*BitTRee;

二叉树的遍历原理

树的遍历是从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次

二叉树遍历方法

前序遍历

规则：若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树

遍历顺序：ABCDGHCEIF

中序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树

遍历的顺序为GDHBAEICF

后序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子结点后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。

遍历顺序为：GHDBIEFCA

层序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

遍历顺序：ABCDEFGHI



因为计算机只会处理线性序列，而我们刚才提到的四种遍历方法，其实都是在把树中的结点变成某种意义的线性序列。这就给程序的实现带来了好处。另外不同的遍历提供了对结点依次处理的不同方式，可以在遍历过程中对结点进行各种处理。

前序遍历算法

二叉树的定义是用递归的方式，所以，实现遍历算法也可以采用递归，而且极其简洁明了。

/*二叉树的前序遍历递归算法*/

void PreOrderTraverse(BiTree T)

{

if(T==NULL)

return ;

printf(“%c”,T->data);

PreOrderTraverse(T->lchild);

PreOrderTraverse(T->rchild);

}

中序遍历算法

void PreOrderTraverse(BiTree T)

{

if(T==NULL)

return ;

PreOrderTraverse(T->lchild);

printf(“%c”,T->data);

PreOrderTraverse(T->rchild);

}

后序遍历

void PreOrderTraverse(BiTree T)

{

if(T==NULL)

return ;

PreOrderTraverse(T->lchild);

PreOrderTraverse(T->rchild);

printf(“%c”,T->data);

}

已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。

已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。

但要知道，已知前序和后序遍历是不能确定一棵二叉树的。

二叉树的建立

说了半天，我们如何在内存中生成一棵二叉链表的二叉树呢，树都没有，哪来的遍历。

如果我们要在内存中建立一个如下图左这样的树，为了能让每个结点确认是否有左右孩子，我们对它进行了扩展，变成下图右的样子，也就是将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一特定值如“#”。我们称这种处理后的二叉树为原二叉树的扩展二叉树。扩展二叉树就可以做到一个遍历确定一棵二叉树了。如图右的前序遍历：AB#D##C##



有了这样的准备就可以生成一棵二叉树了。假设二叉树的结点均为一个字符，我们把刚才前序遍历序列AB#D##C##用键盘挨个输入。实现如下算法：

void CreateBiTree(BiTree *T){

TElemType ch;

scanf(“%c”,&ch);

if(ch==’#’){

*T=NULL;

}else{

*T=(SiTree)malloc(sizeof(SiTNode));

if(!*T)

exit(OVERFLOW);

CreateBiTree(&(*T)->lchild);

CreateBiTree(&(*T)->rchild);

}

}

其实建立二叉树，也是利用了递归的原理。只不过在原来应该是打印结点的地方，改成了生成结点、给结点赋值的操作而已。