傅里叶变换简单理解

傅立叶变换

傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的信号的叠加，表示形式是三角函数（正弦/余弦）或其积分的线性组合。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。

冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。

傅里叶变换可以看出一种工具，将一个连续的信号（不方便处理）转换成一个个小信号的叠加（好处理）。就是将信号完成从时域表示到频域表示。信号本质没有变，转换后有助于后续处理。来看一个图，原图1-5。



图3是由图1和图2两个三角函数波合成的，但是在时域表示下，很难对图3进行分析，于是，对图3执行傅里叶变换，转换到频域表示，如图5，就很明显。又但是，因为MATLAB FFT函数直接转换出来的数据与频率坐标是不对应的，所以用ffshift函数将零频点移到频谱中间，如图4，这样方便观看。图5的横坐标表示频率，纵坐标表示幅值。不看负频部分，从正频部分来看，里0点近的表示频率小，幅值小，对应图1中的a；离0点远的表示频率大，幅值大，对应图2中的b(请自动忽略图5的横坐标)。

傅立叶变换在图像处理的代表性应用：

1.图像增强与图像去噪
绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声;边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；
2.图像分割之边缘检测
提取图像高频分量
3.图像特征提取：
形状特征：傅里叶描述子
纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征
其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性
4.图像压缩
可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；

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