堆及堆排序

1、二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。
二叉堆满足二个特性：
1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。
最大堆：当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值。
最小堆：当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值
下图展示一个最小堆：

2、堆的存储

堆一般是以数组存储的，对某个结点i（从下标0开始），它的做孩子结点为2i+1，右孩子结点为2i+2

3、堆排序

建堆：

//该函数调整下标k对应的元素a[k]在小顶堆的位置，下标从0开始
void MinHeapSift(int a[], int k, int n)
{
int i,j,temp;
i=k;
j=2*i+1;
temp=a[k];

while(j<n)
{
if(a[j+1]<a[j]) //找出左右孩子中较小者
j++;
if(temp<=a[j])  //不需要调整
break;

a[i]=a[j];
i=j;  //得到下一次堆向下调整的位置
j=2*i+1;
}

a[i]=temp;
}

//建堆，对下标为0~n/2-1的元素进行调整
void BuildHeap(int a[], int n)
{
for(int i=n/2-1;i>=0;i--)
MinHeapSift(a, i, n);
}

堆排序：

建堆过程后，堆顶元素是整个堆的最小值，所以先跟最后一个元素a[n-1]交换，于是数组可以分为两个部分，前部分为待调整区（待排序区），后面部分为已排序区
建小顶堆排序后得到降序的数组，建大顶堆排序后得到升序的数组
每次对堆进行调整时，能充分利用先前已建立好的堆，只需要对堆顶进行调整，调整好后，通过与未排序区最后一个元素交换，
于是相当于已排序区增加了一个元素。

void MinHeapSort(int a[], int n)
{
int i;
BuildHeap(a,n); //建堆
for(i=n-1;i>=1;i--) //从最后一个元素开始
{
int tmp=a[i];
a[i]=a[0];
a[0]=tmp;
MinHeapSift(a, 0, i-1); //对未排序区的堆顶元素进行调整
}
}

4、时间复杂度分析

建堆过程：
每个元素调整时间复杂度为：O(logN)，建堆复杂度：(N/2-1)*O(logN)=O(NlogN)

堆排序过程：
时间复杂度：(N-1)*O(logN)=O(NlogN)

整个堆排序过程时间复杂度：O(NlogN)+O(NlogN)=O(NlogN)