第二讲，我们来谈谈：“什么是二进制”

首先，你要记住并且不要问为什么：“在计算机中，所有的数据，最终都是使用二进制数表达的。”

比如，你的电脑是32位系统，还是64位系统。其实，说的是你的电脑的计算存储能力，能够计算存储2的32次方之多的数据，或2的64次方之多的数据。一看到32,64，可能有些人会说，电脑怎么才计算存储这么点数据呀？且慢，我先带你算算2的32次方或64次方是多少。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――1：2的0次方2：2的1次方（第 1 个手指）4：2的2次方（第 2 个手指）【2(次方)2得四】8：2的3次方（第 3 个手指）【3(次方)八，这…】16：2的4次方（第 4 个手指）【4(次方)4十六】32：2的5次方（第 5 个手指）【5(次方)等于32中的3+2】64：2的6次方（第 6 个手指）【6(次方)对应64】128：2的7次方（第 7 个手指）【七(次方)和1音形都很相近】256：2的8次方（第 8 个手指）【八(次方)和二，就10分完美】512：2的9次方（第 9 个手指）【九(次方)五之尊】1024：2的10次方（第 10 个手指）【10(次方)对应1024】从2的0次方到10次方，哪怕做不到脱口而出，起码也要做到屈指可数。――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2048：2的11次方4096：2的12次方8192：2的13次方16385：2的14次方32768：2的15次方65536：2的16次方131072：2的17次方262144：2的18次方524288：2的19次方1048576：2的20次方――――――――――――――――――――――――――――――――――――――………………………………
太多了，算不下去了。有兴趣的自己算吧。看看你还敢不敢说2的32次方或64次方小。

好了，言归正传，好好来理解一下“二进制”的精髓。
先拿一个二进制的整数来说：0111，在二进制中，是这样理解的：0X(2的3次方) + 1X(2的2次方) + 1X(2的1次方) + 1X(2的0次方) = 0X8 + 1X4 + 1X2 + 1X1 = 7。――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――解读：从该某某进制的数的小数点左边第一位起往左算，分别对应乘以该进制的0次方->乘以该进制的1次方->乘以该进制的2次方->乘以该进制的3次方…
再拿一个二进制的小数来说：0.0111，在二进制中，是这样理解的：0X(2的-1次方) + 1X(2的-2次方) + 1X(2的-3次方) + 1X(2的-4次方) = 0X(1/2) + 1X(1/4) + 1X(1/8) + 1X(1/16) = 你自己算吧。――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――解读：从该某某进制的数的小数点右边第一位起往右算，分别对应乘以该进制的-1次方->乘以该进制的-2次方->乘以该进制的-3次方->乘以该进制的-4次方…题外话：不要告诉我不懂“负次方”！负次方：一个数的正次方的倒数，即为其负次方。

所以，二进制的数，转换成十进制，很简单。只需将该二进制的数，按照小数点左边和右边，写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。
例：二进制的：0111.0111 = 0X(2的3次方) + 1X(2的2次方) + 1X(2的1次方) + 1X(2的0次方) + 0X(2的-1次方) + 1X(2的-2次方) + 1X(2的-3次方) + 1X(2的-4次方) = 0X8 + 1X4 + 1X2 + 1X1 + 0X(1/2) + 1X(1/4) + 1X(1/8) + 1X(1/16) = 你自己算吧。

那反过来，十进制的数，如何转换成二进制？
讲这个之前，先看个例子：
假设十进制整数A，转换成二进制数为dcba的形式，那么用"按权相加"法，得：A = a X (2的0次方) + b X (2的1次方) + c X (2的2次方) + d X (2的3次方)
等式左右两边，同时除以2，得：A/2 = a X (2的0次方)/2 + b X (2的1次方)/2 + c X (2的2次方)/2 + d X (2的3次方)/2上面等式右边，因为只有 a 是乘以 2的0次方 这一项，所以被2除不开而被余下来；所以第一次除以2，将得到余数，即其二进制的小数点左边第一位 a ；
上面等式右边，把 a 取出来，得到的商：b X (2的0次方) + c X (2的1次方) + d X (2的2次方) 第二次除以2，得：b X (2的0次方)/2 + c X (2的1次方)/2 + d X (2的2次方)/2上面式子中，因为只有 b 是乘以 2的0次方 这一项，所以被2除不开而被余下来；所以第二次除以2，将得到余数，即其二进制的小数点左边第二位 b ；
……以为类推，除以2取余数，得到的商再除以2再取余数，将不断得到其二进制的小数点左边第一二三四……位 abcd 。

再看个例子：
假设十进制小数B，转换成二进制数为0.efgh的形式，那么用"按权相加"法，得：B = e X (2的-1次方) + f X (2的-2次方) + g X (2的-3次方) + h X (2的-4次方)
等式左右两边，同时乘以2，得：BX2 = e X (2的-1次方) X2 + f X (2的-2次方) X2 + g X (2的-3次方) X2 + h X (2的-4次方) X2上面等式右边，因为只有 e 是乘以 2的-1次方 这一项，所以乘以2而变成整数；
所以第一次乘以2，将得到整数部分，即其二进制的小数点右边第一位 e ；
上面等式右边，把 e 取出来，剩下的小数部分：f X (2的-1次方) + g X (2的-2次方) + h X (2的-3次方) 第二次乘以2，得：f X (2的-1次方) X2 + g X (2的-2次方) X2 + h X (2的-3次方) X2上面式子中，因为只有 f 是乘以 2的-1次方 这一项，所以乘以2而变成整数；所以第二次乘以2，将得到整数部分，即其二进制的小数点右边第二位 f ；
……以为类推，乘以2取整数部分，剩下的小数部分再乘以2再取整数部分，将不断得到其二进制的小数点右边第一二三四……位 efgh 。