[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.14

14. 如果映射 $f:M_n\to M_n$ 按某个固定的模式将 $M_n$ 中的每个矩阵的元素重排, 则称 $f$ 为一个置换算子. 怎样的置换算子保持矩阵的特征值不变? 保持秩不变?

解答: 置换算子 $f$ 保持矩阵的特征值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, 使得 $$\bex f(A)=PAP^T,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$$ 或 $$\bex f(A)=PA^TP^T,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$$ 置换算子 $f$ 保持矩阵的奇异值不变当且仅当存在置换矩阵 $P$, $Q$, 使得 $$\bex f(A)=PAQ,\quad \forall\ A\in M_n; \eex$$ 或 $$\bex f(A)=PA^TQ,\quad \forall\ A\in M_n. \eex$$