[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题1.1

1. 设 $a_1,\cdots,a_n$ 为正实数, 证明矩阵 $$\bex \sex{\frac{1}{a_i+a_j}}_{n\times n} \eex$$ 半正定.

证明: $$\beex \bea \sum_{i,j=1}^n \frac{1}{a_i+a_j}x_ix_j &=\sum_{i,j=1}^n x_ix_j\int_0^1 t^{a_i+a_j-1}\rd t\\ &=\int_0^1 \sum_{i=1}^n t^{a_i-\frac{1}{2}}x_i\cdot \sum_{j=1}^n t^{a_j-\frac{1}{2}}x_j\rd t\\ &=\int_0^1 y^2(t,x)\rd t\quad\sex{y(t,x)=\sum_{i=1}^n t^{a_i-\frac{1}{2}}x_i}\\ &\geq 0. \eea \eeex$$