数论基础 辗转相除 扩展欧几里德

辗转相除：

辗转相除，又称为欧几里德算法，用于求解俩个数值的最大公约数，原理如下：

gcd(a,b) = gcd(b,a%b) = gcd(a%b,(a%b)%b) ... = gcd(c,0) = c;

一般经过俩次的递归之后，第一个参数就小于原来的一半，所以不用但是栈溢出的情况。

int gcd(int a,int b){
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}

求解n个数值的最小公倍数，即求解n个数值的最大公约数即可。lcm(a,b) = a*b / gcd(a,b);

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int gcd(int a,int b){
return b==0?a:gcd(b,a%b);   //辗转相除 gcd（a,b）=gcd(b,a%b) 结束条件是 gcd（a,0）=a
}
//两个数的最小公倍数 是两个数的乘积除以两个数的最大公约数
int lcm(int a,int b){
int result = gcd(a,b);
return (a*b)/(result);
}
int main()
{
int n;
int res;
int m;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
res = 1;
while(n--){
scanf("%d",&m);
res = lcm(res,m);
}
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}

扩展欧几里德：

对应于ax+by = gcd(a,b) 存在着x,y使得成立，x,y不一定是正数。
推导：

ax+by = gcd(a,b);
if b == 0
a*x + 0*y = gcd(a,0) = a;
=> x = 1; y = 0;
if a*b != 0
a*x1 + b*y1 = gcd(a,b) = b*x2 + (a%b)*y2
a%b = a-a/b*b
a*x1 + b*y1 = b*x2 +(a-[a/b]*b)*y2
a*x1 + b*y1 = a*y2 + b*(x2-[a/b]*y2)
==> x1 = y2
y1 = x2-(a/b)*y2
x1,y1是基于x2,y2的 递归总会出现b==0的时候

代码：

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x = 1;
y =0;
return a;
}else{
int res = extgcd(b,a%b,x,y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp-(a/b)y;
return res;
}
}

用扩展欧几里德可以判断 ax+by=c 是否存在着整数解
当ax+by=gcd(a,b)的成立且解为x,y 所以就是当c是gcd(a,b)的整数倍的时候，存在着解，解为xc/gcd(a,b),yc/gcd(a,b)

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y){
int d = extgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
return false;
int k = c/d;
x *= k;
y *= k;
cout<<"x="<<x<<" "<<"y="<<y<<endl;
return true;
}

main()函数：

int main(){
int a,b,c,x,y;
cin>>a>>b>>c;
int result = extgcd(a,b,x,y);
cout<<result<<endl;
bool flag =linear_equation(a,b,c,x,y);
if(flag)
cout<<"answer exit"<<endl;
else
cout<<"No answer"<<endl;
}

样例：模线性方程 
ax和b(mod)n同余 也就是a%n = b%n 所以存在着n使得 a-b = ny 原来方程变为ax - b = ny
可得：ax-ny = b; 当b=1的时候，也即gcd(a,n)=1,1/gcd(a,n)有解 说明a,n必须互素 也即gcd(a,n)=1成立的时候存在着唯一解。

模运算公式：
（a+b）mod n = ((a mod n)+(b mod n)) mod n
（a-b）mod n = ((a mod n)-(b mod n)+n) mod n
（a*b）mod n = ((a mod n)*(b mod n)) mod n

大整数取模
根据上面的性质：1234 =( ((1*10+2)*10)+3)*10+4.......大数表示方法 mod m；
代码：

int main(){
int m;
int ans = 0;
scanf("%s%d",n,&m);
int len = strlen(n);
for(int i=0;i<len;i++)
ans = (int)(((long long)ans*10+n[i])%m);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}